الانحراف المعياري (Standard Deviation)

١ التعريف والمعادلة

المتوسط الحسابي لا يكفي — ثلاث مجموعات لها نفس المتوسط (10) لكنها مختلفة تمامًا في التباعد.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}

σ = الانحراف المعياري — x̄ = المتوسط — n = عدد القراءات

الخطوة ١احسب المتوسط x̄

الخطوة ٢اطرح المتوسط من كل قراءة

الخطوة ٣ارفع كل فرق للمربع

الخطوة ٤اجمع المربعات

الخطوة ٥اقسم على n

الخطوة ٦خذ الجذر التربيعي

٢ مثال ١ — لا يوجد تباعد (10، 10، 10، 10) ▼

المتوسط

\bar{x} = \frac{10+10+10+10}{4} = 10

الفروق

10−10 = 0، 10−10 = 0، 10−10 = 0، 10−10 = 0

مجموع المربعات

0^2+0^2+0^2+0^2 = 0

الانحراف

\sigma = \sqrt{\frac{0}{4}} = 0

σ = 0 — كل القراءات متساوية، لا يوجد أي تباعد

٣ مثال ٢ — تباعد بسيط (8، 9، 11، 12) ▼

المتوسط

\bar{x} = \frac{8+9+11+12}{4} = \frac{40}{4} = 10

الفروق

8−10 = −2، 9−10 = −1، 11−10 = 1، 12−10 = 2

المربعات

(-2)^2+(-1)^2+(1)^2+(2)^2 = 4+1+1+4 = 10

الانحراف

\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.58

σ ≈ 1.58 — تفاوت بسيط بين القراءات

٤ مثال ٣ — تباعد كبير (1، 4، 16، 19) ▼

المتوسط أيضًا = 10، لكن القراءات متباعدة جدًا.

الفروق

1−10 = −9، 4−10 = −6، 16−10 = 6، 19−10 = 9

المربعات

81 + 36 + 36 + 81 = 234

الانحراف

\sigma = \sqrt{\frac{234}{4}} = \sqrt{58.5} \approx 7.65

σ ≈ 7.65 — تباعد كبير بين القراءات

٥ الخلاصة

البيانات	المتوسط	σ	التباعد
10، 10، 10، 10	10	$0$	لا يوجد
8، 9، 11، 12	10	$\approx 1.58$	بسيط
1، 4، 16، 19	10	$\approx 7.65$	كبير

σ = 0

قراءات متساوية — لا تباعد

σ صغير

قراءات متقاربة من المتوسط

σ كبير

قراءات متباعدة عن المتوسط

الشرح