الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

١ قاعدة الاحتمال المشروط

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

البسط = حدوثهما معًا — المقام = احتمال الشرط

الخطوة ١ حدد الحدث A (الشرط) والحدث B (المطلوب)

الخطوة ٢ احسب P(A ∩ B) — احتمال حدوثهما معًا في البسط

الخطوة ٣ احسب P(A) — احتمال الشرط في المقام

الخطوة ٤ اقسم البسط على المقام

٢ المثال — رمي نرد

نرد ذو 6 أوجه — فضاء العينة: {1، 2، 3، 4، 5، 6}

P(3) — بدون شرط

\frac{1}{6}

P(فردي) — بدون شرط

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

A = العدد فردي، B = العدد 3

٣ تطبيق القاعدة — ما احتمال 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟ ▼

الشرط "العدد فردي" يحصر فضاء العينة من 6 نتائج إلى 3 فقط: {1، 3، 5}

البسط — P(A ∩ B)

P(3 \cap \text{فردي}) = \frac{1}{6}

3 هو فردي — إذا ظهر 3 يتحقق كلا الحدثين

المقام — P(A)

P(\text{فردي}) = \frac{1}{2}

القاعدة

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3}

P(B|A) = \frac{1}{3}

الاحتمال ارتفع من 1/6 إلى 1/3 — الشرط حصر فضاء العينة من 6 إلى 3

٤ الخلاصة

الحالة	فضاء العينة	الاحتمال
P(3) بدون شرط	{1, 2, 3, 4, 5, 6}	$\frac{1}{6}$
P(3 \| فردي)	{1, 3, 5}	$\frac{1}{3}$

P(A ∩ B)

احتمال حدوثهما معًا — البسط

P(A)

احتمال الشرط — المقام

التأثير

حصر فضاء العينة يغير الاحتمال

الشرح