الأعداد المركبة وخط الأعداد

الأعداد المركبة وخط الأعداد

تعودنا في الرياضيات على خط الأعداد، حيث تقع الأعداد الموجبة على اليمين، والصفر في المنتصف، والأعداد السالبة على اليسار.

وهذا يعني أن الأعداد الحقيقية تمثل بعدًا واحدًا فقط، وهو خط مستقيم.

ماذا لو أصبح نظام الأعداد مستوى؟

لو افترضنا وجود بعد ثانٍ للأعداد، فلن يعود نظام الأعداد مجرد خط مستقيم، بل سيصبح مستوىً مثل المستوى الديكارتي أو المستوى القطبي.

وعندها سيكون لكل عدد موقع وزاوية داخل هذا المستوى.

المحور الحقيقي والمحور التخيلي

في هذا المستوى تبقى الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي.

• الأعداد الموجبة تقع عند زاوية 0°.

• الأعداد السالبة تقع عند زاوية 180°.

أما المحور العمودي فيمثل الأعداد التخيلية.

• أعلى الصفر توجد الأعداد التخيلية الموجبة مثل:

i ، 2i ، 3i ...

• وأسفل الصفر توجد الأعداد التخيلية السالبة مثل:

-i ، -2i ، -3i ...

والرمز i اختصار لكلمة Imaginary أي العدد التخيلي.

ما هو العدد المركب؟

إذا احتوى العدد على جزء حقيقي وجزء تخيلي في الوقت نفسه، فإنه يسمى عدداً مركباً.

فمثلاً:

1 + 2i

يتكون من:

• الجزء الحقيقي: 1

• الجزء التخيلي: 2i

وكذلك العدد:

-1 - 2i

يتكون من:

• الجزء الحقيقي: -1

• الجزء التخيلي: -2i

وسمي عدداً مركباً لأنه مركب من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي.

تمثيل الأعداد المركبة على المستوى

بما أن الأعداد المركبة تمثل نقاطاً على مستوى، فيمكن تمثيلها بطريقتين:

• الصورة الديكارتية.

• الصورة القطبية.

ففي الصورة القطبية نمثل العدد ببعده عن الأصل r وزاويته θ.

تحويل الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية

إذا كان العدد المركب ممثلاً بالصورة القطبية، فإن:

الجزء الحقيقي = r cosθ

الجزء التخيلي = r sinθ

فإذا كان:

r = 2

θ = 30°

فإن:

الجزء الحقيقي = 2 cos(30°)

الجزء التخيلي = 2 sin(30°)

الصورة القطبية القياسية للعدد المركب

الطريقة المتعارف عليها لكتابة العدد المركب بالصورة القطبية هي:

Z = r (cosθ + i sinθ)

حيث:

• Z هو العدد المركب.

• r هو البعد عن نقطة الأصل.

• θ هي الزاوية.

• i تمثل الوحدة التخيلية.

الخلاصة

الأعداد المركبة توسّع نظام الأعداد من خط مستقيم إلى مستوى كامل، يتكون من محور حقيقي ومحور تخيلي.

وبذلك يمكن تمثيل أي عدد مركب بالصورة الديكارتية أو بالصورة القطبية، وتعد الصورة القطبية مهمة جداً لأنها تسهّل عمليات الضرب والقسمة بين الأعداد المركبة.