في هذا الدرس سنتعرف على الدوال الزوجية والدوال الفردية، ونوضح الفرق بينهما من خلال مفهوم التماثل، ثم نتعرف على تعريفهما الرياضي وأهميتهما في دراسة الدوال والتكامل.
لفهم الدوال الزوجية والفردية، يجب أولًا التعرف على مفهوم التماثل (Symmetry).
ويوجد نوعان من التماثل:
يحدث التماثل حول مستقيم عندما يكون شكل الدالة في أحد جانبي المستقيم مطابقًا تمامًا للشكل الموجود في الجانب الآخر.
فإذا طوينا المستوى حول هذا المستقيم، فإن الجزأين ينطبقان على بعضهما تمامًا.
ويسمى هذا المستقيم محور التماثل.
أما التماثل حول نقطة، فيعني أن لكل نقطة على المنحنى توجد نقطة أخرى تقع في الجهة المقابلة، وتبعد عن نقطة التماثل بنفس المسافة ولكن في الاتجاه المعاكس.
وعند تدوير الشكل حول نقطة التماثل بمقدار 180 درجة، ينطبق المنحنى على نفسه.
الدالة الزوجية هي الدالة التي يكون منحناها متماثلًا حول محور الصادات (محور y).
أي أن شكل الدالة في الجهة اليمنى يطابق تمامًا شكلها في الجهة اليسرى.
ومن أشهر أمثلة الدوال الزوجية:
تكون الدالة زوجية إذا حققت العلاقة:
f(-x) = f(x)
أي أن قيمة الدالة عند العدد السالب تساوي قيمتها عند العدد الموجب المناظر له.
فإذا كانت قيمة الدالة عند:
x = 2
هي نفسها عند:
x = -2
فقد تكون الدالة زوجية.
الدالة الفردية هي الدالة التي يكون منحناها متماثلًا حول نقطة الأصل.
أي أن كل نقطة في أحد جانبي الأصل يقابلها نقطة في الجانب الآخر لها نفس البعد ولكن في الاتجاه المعاكس.
ومن أشهر أمثلة الدوال الفردية:
تكون الدالة فردية إذا حققت العلاقة:
f(-x) = -f(x)
أي أن قيمة الدالة عند العدد السالب تساوي سالب قيمة الدالة عند العدد الموجب المناظر له.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت:
f(2) = 5
فإن:
f(-2) = -5
وهذا هو الشرط الأساسي للدالة الفردية.
الفرق الأساسي بين النوعين هو نوع التماثل:
كما أن تعريفهما الرياضي يختلف:
شاهد شرح الدرس عبر الرابط أو رمز QR، ثم لخّص أهم القوانين والأمثلة هنا: