الاسم: الصف: التاريخ:
ملخص الدرس
في هذا الدرس سنتعلم حل نظام من المعادلات الخطية بثلاث طرق مختلفة، وهي: الطريقة التقليدية بالتعويض، وقاعدة كرامر، وطريقة النظير الضربي للمصفوفات. والمفترض أن نحصل على نفس الحل مهما اختلفت الطريقة المستخدمة.
الطريقة الأولى: التعويض
نبدأ بحل المتغير 
من المعادلة الأولى، فنحصل على:
بعد ذلك نعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، فتتحول إلى معادلة تحتوي على المتغير 
فقط.
بحلها نجد أن:
ثم نعوض بقيمة في المعادلة الأولى لنحصل على:
وهذه هي الطريقة التقليدية التي اعتدنا عليها قبل دراسة المصفوفات، لكنها تصبح أطول وأكثر عرضة للأخطاء كلما زاد عدد المعادلات.
الطريقة الثانية: قاعدة كرامر
نكوّن أولًا مصفوفة المعاملات، والتي يجب أن تكون مصفوفة مربعة، أي أن عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات.
في هذا المثال لدينا متغيران و، لذلك لدينا معادلتان، ويمكن استخدام قاعدة كرامر.
نحسب محددة مصفوفة المعاملات بضرب عناصر القطر الرئيسي ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر، فنجد أن قيمة المحددة تساوي:
بعد ذلك نحسب:
وذلك باستبدال عمود معاملات بعمود الثوابت، ثم حساب المحددة الجديدة.
فيكون:
ومن ثم:
وبالطريقة نفسها نحسب:
فنستبدل عمود معاملات بعمود الثوابت، ثم نحسب المحددة الجديدة، فنجد أنها تساوي:
وبالتالي:
وهكذا وصلنا إلى نفس الحل باستخدام قاعدة كرامر.
الطريقة الثالثة: النظير الضربي للمصفوفة
في هذه الطريقة نحسب أولًا النظير الضربي لمصفوفة المعاملات، ثم نضربه في مصفوفة الثوابت.
ولإيجاد النظير الضربي:
- نبدّل عنصري القطر الرئيسي.
- نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر.
- ثم نقسم المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة.
بعد الحصول على النظير الضربي، نضربه في مصفوفة الثوابت، والتي تحتوي في هذا المثال على العددين:
وبإجراء عملية ضرب المصفوفات نحصل على:
أي أن:
الخلاصة
يمكن حل نظام المعادلات الخطية بعدة طرق، منها:
- استخدام النظير الضربي للمصفوفات.
وعند تطبيق أي من هذه الطرق بطريقة صحيحة، نحصل على نفس الحل النهائي، وهو:
تمارين
1ما هي الطرق الثلاث المستخدمة لحل نظام المعادلات في هذا الدرس؟
أ) التعويض، الحذف، الرسم البياني
ب) التعويض التقليدي، قاعدة كريمر، النظير الضربي
ج) الجمع، الطرح، الضرب
د) المحددات، المصفوفات، الجبر
2في النظام 2x + 3y = 8 و 4x + 5y = 14، ما هي النتيجة النهائية لجميع الطرق؟
أ) x = 2, y = 1
ب) x = 1, y = 2
ج) x = 0, y = 3
د) x = 3, y = 0
3في طريقة التعويض التقليدي، ما هي الخطوة الأولى؟
أ) ضرب المعادلتين في بعض
ب) حل إحدى المعادلات لمتغير واحد
ج) جمع المعادلتين
د) حساب المحدد
4ما هو الشرط الأساسي لتطبيق قاعدة كريمر؟
أ) أن تكون المعاملات موجبة
ب) أن يكون المحدد لا يساوي صفر
ج) أن تكون المعادلات خطية
د) أن يكون عدد المعادلات أكبر من عدد المتغيرات
5احسب محدد المصفوفة [2 3; 4 5]:
6في طريقة النظير الضربي، ما هي الصيغة المستخدمة؟
أ) X = AB
ب) X = A⁻¹B
ج) X = A + B
د) X = A - B
7لحساب النظير الضربي للمصفوفة 2×2، نحتاج إلى:
أ) قسمة جميع العناصر على المحدد
ب) تبديل العناصر القطرية، تغيير إشارة غير القطرية، والقسمة على المحدد
ج) ضرب جميع العناصر في -1
د) جمع 1 لجميع العناصر
8أي طريقة أفضل للأنظمة الكبيرة (أكثر من 3 متغيرات)؟
أ) التعويض التقليدي
ب) قاعدة كريمر
ج) النظير الضربي للمصفوفة
د) جميعها متساوية
9لماذا نحصل على نفس النتيجة بالطرق الثلاث؟
أ) لأنها طرق رياضية مختلفة لحل نفس المسألة
ب) لأنها تعتمد على نفس المبادئ الجبرية
ج) لأن النظام له حل وحيد
د) جميع ما سبق
10للتحقق من صحة الحل x = 1, y = 2 في النظام الأصلي:
أ) 2(1) + 3(2) = 8 ✓ و 4(1) + 5(2) = 14 ✓
ب) 2(1) + 3(2) = 7 و 4(1) + 5(2) = 15
ج) 2(1) + 3(2) = 9 و 4(1) + 5(2) = 13
د) لا يمكن التحقق
الإجابات
1. التعويض التقليدي، قاعدة كريمر، النظير الضربي
2. x = 1, y = 2
3. حل إحدى المعادلات لمتغير واحد
4. أن يكون المحدد لا يساوي صفر
5. -2
6. X = A⁻¹B
7. تبديل العناصر القطرية، تغيير إشارة غير القطرية، والقسمة على المحدد
8. النظير الضربي للمصفوفة
9. جميع ما سبق
10. 2(1) + 3(2) = 8 ✓ و 4(1) + 5(2) = 14 ✓