ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

ضرب وقسمة الأعداد المركبة في الصورة القطبية

عند تمثيل الأعداد المركبة بالصورة القطبية، تصبح عمليتا الضرب والقسمة أبسط بكثير من الصورة الديكارتية.

فبدلاً من فك الأقواس وإجراء عمليات مطولة، نعتمد على قواعد مباشرة للمقدار والزاوية.

الصورة القطبية للعدد المركب

الصورة القطبية للعدد المركب هي:

Z = r(cosθ + i sinθ)

حيث:

• r هو مقدار العدد المركب.

• θ هي الزاوية.

• i هي الوحدة التخيلية.

قاعدة ضرب الأعداد المركبة

إذا كان لدينا عددان مركبان:

Z₁ = r₁(cosθ₁ + i sinθ₁)

Z₂ = r₂(cosθ₂ + i sinθ₂)

فإن حاصل الضرب يكون:

• نضرب المقدارين r₁ × r₂.

• نجمع الزاويتين θ₁ + θ₂.

أي أن:

Z₁Z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

وفي عملية جمع الزوايا لا يؤثر ترتيب الجمع، لكن يُفضّل دائماً كتابة الزاوية الأولى ثم الثانية للمحافظة على ترتيب ثابت.

قاعدة قسمة الأعداد المركبة

أما إذا أردنا قسمة عددين مركبين، فإننا:

• نقسم المقدارين r₁ ÷ r₂.

• نطرح الزاوية الثانية من الأولى.

أي أن:

Z₁ / Z₂ = (r₁ / r₂) [cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂)]

وفي القسمة يكون ترتيب الزوايا مهماً جداً، لذلك يجب دائماً طرح:

θ₁ - θ₂

وليس العكس.

لماذا ترتيب الزوايا مهم في القسمة؟

السبب أن دالة الجيب (sin) دالة فردية، ولذلك:

sin(θ₁ - θ₂) ≠ sin(θ₂ - θ₁)

بل تختلف الإشارة عند عكس الترتيب.

أما جيب التمام (cos) فهو دالة زوجية، لذلك لا يتغير عند تبديل ترتيب الطرح، ومع ذلك يبقى من الأفضل الالتزام بالصيغة القياسية:

θ₁ - θ₂

مثال على الضرب

إذا كان لدينا عددان مركبان:

• المقدار الأول = 3

• المقدار الثاني = 5

فعند الضرب:

• المقدار الجديد = 3 × 5 = 15

• الزاوية الجديدة = θ₁ + θ₂

فيصبح الناتج:

15 [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

ثم نحسب مجموع الزاويتين ونعوض به مباشرة.

مثال على القسمة

باستخدام العددين نفسيهما:

• المقدار الأول = 3

• المقدار الثاني = 5

فعند القسمة:

• المقدار الجديد = 3 ÷ 5

• الزاوية الجديدة = θ₁ - θ₂

فيصبح الناتج:

(3/5) [cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂)]

ثم نحسب فرق الزاويتين ونعوض به في الصيغة.

الخلاصة

عند التعامل مع الأعداد المركبة بالصورة القطبية:

• في الضرب نضرب المقادير ونجمع الزوايا.

• في القسمة نقسم المقادير ونطرح الزوايا.

أي:

الضرب: r₁r₂ ، θ₁ + θ₂

القسمة: r₁/r₂ ، θ₁ - θ₂

وهذه القواعد تجعل عمليات الضرب والقسمة في الأعداد المركبة أسرع وأسهل بكثير من استخدام الصورة الديكارتية.