→ العودة إلى الدرس

أرسل للمعلم/الصف

📘 أكاديمية موسى · ورقة عمل

الرياضيات › الثانوية › ثاني ثانوي › الفصل الأول

ضرب الأعداد المركبة و قسمتها

امسح لمشاهدة الشرح

الاسم: الصف: التاريخ:

ملخص الدرس

في هذا الدرس سنتعلم كيفية ضرب وقسمة الأعداد المركبة، والهدف في النهاية هو كتابة الناتج على الصورة القياسية، بحيث يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي.

ضرب الأعداد المركبة

إذا كان لدينا:

$(2+4i)(9-3i)$

فنوزع الضرب كما نفعل مع كثيرات الحدود:

$2 \times 9 = 18$

$2 \times (-3i) = -6i$

$4i \times 9 = 36i$

$4i \times (-3i) = -12i^2$

ونتذكر أن:

$i^2=-1$

إذن:

$-12i^2=-12(-1)=12$

ثم نجمع الحدود المتشابهة:

الجزء الحقيقي:

$18+12=30$

الجزء التخيلي:

$-6i+36i=30i$

فيكون الناتج النهائي:

$30+30i$

قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب على عدد مركب، فإن الهدف هو التخلص من الجزء التخيلي في المقام.

ولتحقيق ذلك نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

فإذا كان المقام على الصورة:

$a+bi$

فإن مرافقه هو:

$a-bi$

مثال

إذا كان لدينا:

$\frac{2i}{3+6i}$

فنضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

$3-6i$

فتصبح:

$\frac{2i(3-6i)}{(3+6i)(3-6i)}$

تبسيط البسط

نوزع الضرب:

$2i \times 3 = 6i$

$2i \times (-6i) = -12i^2$

وبما أن:

$i^2=-1$

فإن:

$-12i^2=12$

إذن يصبح البسط:

$12+6i$

تبسيط المقام

يمكن حساب المقام باستخدام فرق بين مربعين:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

فتصبح:

$3^2-(6i)^2$

أي:

$9-36i^2$

وبما أن:

$i^2=-1$

فإن:

$9-36(-1)=9+36=45$

ويمكن أيضًا الوصول إلى النتيجة نفسها بالتوزيع المباشر.

كتابة الناتج بالصورة القياسية

يصبح الناتج:

$\frac{12+6i}{45}$

ثم نفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي:

$\frac{12}{45}+\frac{6}{45}i$

وبتبسيط الكسور بقسمة البسط والمقام على 3 نحصل على:

$\frac{4}{15}+\frac{2}{15}i$

الخلاصة

عند ضرب الأعداد المركبة نستخدم التوزيع، مع تذكر أن:

$i^2=-1$

بعد الضرب نجمع الأجزاء الحقيقية معًا، والأجزاء التخيلية معًا.

عند القسمة نضرب البسط والمقام في مرافق المقام للتخلص من الجزء التخيلي.

ثم نكتب الناتج في الصورة القياسية:

$a+bi$

حيث $a$ هو الجزء الحقيقي، و $bi$ هو الجزء التخيلي.

تمارين

1ما هو ناتج $(3 + 2i)(4 - i)$ ؟

أ) $12 - 3i + 8i - 2i^2$

ب) $14 + 5i$

ج) $12 + 8i$

د) $10 + 11i$

2ما هو العدد المرافق للعدد المركب $5 - 3i$ ؟

أ) $5 + 3i$

ب) $-5 + 3i$

ج) $-5 - 3i$

د) $3 - 5i$

3احسب $(2 + 4i) \times (2 - 4i)$ :

أ) $4 - 16i^2$

ب) $20$

ج) $4 + 16$

د) $-12$

4لحل $\frac{3 + i}{2 - i}$ ، نضرب البسط والمقام في:

أ) $2 - i$

ب) $2 + i$

ج) $3 + i$

د) $3 - i$

5ما هو ناتج $i \times (3 - 2i)$ ؟

أ) $3i - 2i^2$

ب) $3i + 2$

ج) $2 + 3i$

د) $-2 + 3i$

6احسب $\frac{4i}{1 + i}$ :

أ) $2 + 2i$

ب) $2 - 2i$

ج) $2i - 2$

د) $4 - 4i$

7ما هو ناتج $(1 + 2i)^2$ ؟

أ) $1 + 4i^2$

ب) $-3 + 4i$

ج) $1 + 4i$

د) $5 + 4i$

8إذا كان $z_1 = 2 + 3i$ و $z_2 = 1 - i$ ، فما هو $z_1 \times z_2$ ؟

أ) $2 + 3i - 2i - 3i^2$

ب) $5 + i$

ج) $-1 + 5i$

د) $2 - 3i$

9لماذا نستخدم العدد المرافق في قسمة الأعداد المركبة؟

أ) لجعل البسط عدد حقيقي

ب) لجعل المقام عدد حقيقي

ج) لتبسيط العملية

د) لتجنب الأخطاء

10ما هو ناتج $\frac{1}{i}$ ؟

أ) $i$

ب) $-i$

ج) $1$

د) غير معرف

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/q54vp8

📘 أكاديمية موسى · مفتاح الإجابات (للمعلم)

ضرب الأعداد المركبة و قسمتها

الإجابات

1. $14 + 5i$

2. $5 + 3i$

3. $20$

4. $2 + i$

5. $2 + 3i$

6. $2 + 2i$

7. $-3 + 4i$

8. $5 + i$

9. لجعل المقام عدد حقيقي

10. $-i$

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/q54vp8