في هذا الدرس سنتعرف على الدالة، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات، لأنها تستخدم لوصف العلاقة بين المتغيرات، وتعد الأساس الذي تُبنى عليه دراسة الدوال والتفاضل والتكامل.
يمكن تعريف الدالة بأنها علاقة بين متغيرين أو أكثر يحكمها شرط واحد فقط.
ولفهم هذا التعريف، يجب أولًا معرفة معنى العلاقة، ثم التعرف على الشرط الذي يجعل العلاقة دالة.
العلاقة هي ارتباط بين متغيرين، بحيث يؤدي تغير أحدهما إلى تغير الآخر.
فعلى سبيل المثال، مساحة المربع تعتمد على طول ضلعه.
فكلما تغير طول الضلع، تغيرت مساحة المربع، ولذلك توجد علاقة بين طول الضلع والمساحة.
ومثال آخر هو العلاقة بين عمر الإنسان وطوله، حيث يتغير الطول مع تغير العمر.
إذن العلاقة تعني وجود متغير يؤثر في متغير آخر.
في أي دالة يوجد نوعان من المتغيرات:
فعلى سبيل المثال:
ليس كل علاقة تعتبر دالة.
فالشرط الوحيد الذي يجب أن يتحقق هو:
أن يقابل كل قيمة للمتغير المستقل قيمة واحدة فقط للمتغير التابع.
أي أنه لا يجوز أن تعطي قيمة واحدة للمتغير المستقل أكثر من ناتج واحد.
وهذا هو الشرط الأساسي لتعريف الدالة.
إذا كانت سيارة تسير بسرعة ثابتة، فإن المسافة تعتمد على الزمن.
فلكل زمن معين توجد مسافة واحدة فقط تقطعها السيارة.
فعند معرفة الزمن نستطيع تحديد مسافة واحدة فقط، ولذلك تمثل هذه العلاقة دالة.
لا.
ليس من الضروري أن تتغير قيمة المتغير التابع في كل مرة.
فقد تكون القيمة ثابتة، ومع ذلك تظل العلاقة دالة.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت درجة حرارة الغرفة ثابتة طوال اليوم، فإن كل زمن يقابله قراءة واحدة فقط لدرجة الحرارة.
وكذلك إذا كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة، فإن كل لحظة زمنية تقابلها قيمة واحدة للسرعة.
إذن ثبات القيمة لا يمنع العلاقة من أن تكون دالة، ما دام لكل قيمة في المتغير المستقل ناتج واحد فقط.
لا تمثل العلاقة دالة إذا كانت قيمة واحدة للمتغير المستقل تعطي قيمتين أو أكثر للمتغير التابع.
ومن الأمثلة المشهورة أيضًا الدائرة.
شاهد شرح الدرس عبر الرابط أو رمز QR، ثم لخّص أهم القوانين والأمثلة هنا: