📘 أكاديمية موسى · ورقة عمل

الرياضيات › الثانوية › ثاني ثانوي › الفصل الأول

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

امسح لمشاهدة الشرح

الاسم: الصف: التاريخ:

ملخص الدرس

في هذا الدرس سنتعرف على أحد أهم استخدامات النظير الضربي للمصفوفات، وهو حل نظام من المعادلات الخطية.

تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفات

إذا كان لدينا نظام يتكون من معادلتين ومتغيرين $x$ و $y$ ، مثل:

$x+y=100$

$1.5x+1.45y=149$

فإننا نحول النظام إلى صورة مصفوفية تتكون من:

مصفوفة المعاملات.

مصفوفة المتغيرات $(x, y)$ .

مصفوفة الثوابت، وهي الأعداد الموجودة بعد علامة المساواة.

إيجاد النظير الضربي

الخطوة الأساسية في هذه الطريقة هي حساب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات.

وبعد تطبيق خطوات إيجاد النظير الضربي كما تعلمنا سابقًا، نحصل على المصفوفة:

$\begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}$

ضرب النظير الضربي في مصفوفة الثوابت

بعد الحصول على النظير الضربي، نضربه في مصفوفة الثوابت:

$\begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

ولإجراء الضرب نتحقق أولًا من الأبعاد:

المصفوفة الأولى رتبتها $2 \times 2$ .

المصفوفة الثانية رتبتها $2 \times 1$ .

وبما أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية، فإن الضرب ممكن.

بعد تنفيذ عملية ضرب المصفوفات نحصل على:

$\begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}$

أي أن:

$x=80$

$y=20$

لماذا تعمل هذه الطريقة؟

إذا رمزنا إلى:

مصفوفة المعاملات بـ $A$ .

مصفوفة المتغيرات بـ $X$ .

مصفوفة الثوابت بـ $B$ .

فإن نظام المعادلات يكتب بالشكل:

$AX=B$

ولإيجاد $X$ ، نضرب طرفي المعادلة في النظير الضربي للمصفوفة $A$ :

$A^{-1}AX=A^{-1}B$

وبما أن:

$A^{-1}A=I$

حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة، فإن المعادلة تصبح:

$IX=A^{-1}B$

ولأن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة لا يغيرها، فإن:

$X=A^{-1}B$

وهذا هو المبدأ الذي تعتمد عليه طريقة حل أنظمة المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفات.

الخلاصة

لحل نظام معادلات باستخدام النظير الضربي:

نحوّل النظام إلى الصورة المصفوفية $AX=B$ .

نحسب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات $A^{-1}$ .

نضرب $A^{-1}$ في مصفوفة الثوابت $B$ .

تكون المصفوفة الناتجة هي مصفوفة المتغيرات، ومنها نستخرج قيم المتغيرات.

وفي المثال السابق كانت النتيجة:

$x=80$

$y=20$

تمارين

1ما هو الغرض من استخدام النظير الضربي للمصفوفات في حل الأنظمة الخطية؟

أ) لحساب مجموع المعادلات

ب) لحل نظام من المعادلات بطريقة مباشرة

ج) لضرب المصفوفات فقط

د) لحساب محدد المصفوفة

2حول النظام التالي إلى شكل مصفوفي:

$\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}$

أ)

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

ب)

$\begin{bmatrix} 1 & 1.5 \\ 1 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

ج)

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

د)

$\begin{bmatrix} 100 & 149 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

3ما هي الصيغة العامة للنظير الضربي للمصفوفة 2×2؟

أ)

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & -b \\ -c & d \end{bmatrix}$

ب)

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

ج)

$A^{-1} = \frac{1}{ad+bc} \begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix}$

د)

$A^{-1} = ad-bc \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

4للمصفوفة

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}$

، ما قيمة المحدد det(A)؟

أ) 0.05

ب) -0.05

ج) 1.45

د) 2.45

5إذا كان

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

، فما قيمة X في المعادلة

AX = B

أ)

$\begin{bmatrix} 60 \\ 40 \end{bmatrix}$

ب)

$\begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}$

ج)

$\begin{bmatrix} 70 \\ 30 \end{bmatrix}$

د)

$\begin{bmatrix} 90 \\ 10 \end{bmatrix}$

6لماذا نحتاج للتحقق من الحل بعد إيجاد قيم المتغيرات؟

أ) للتأكد من صحة العمليات الحسابية

ب) للتحقق من أن القيم تحقق المعادلات الأصلية

ج) لضمان عدم وجود أخطاء رياضية

د) جميع ما سبق

7ما المبدأ الرياضي وراء استخدام النظير الضربي لحل

AX = B

أ) ضرب الطرفين في

A⁻¹

من اليسار:

A⁻¹AX = A⁻¹B

، وبالتالي

X = A⁻¹B

ب) جمع

A⁻¹

للطرفين

ج) قسمة الطرفين على A

د) ضرب الطرفين في المحدد

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/ngfk6e

📘 أكاديمية موسى · مفتاح الإجابات (للمعلم)

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

الإجابات

1. لحل نظام من المعادلات بطريقة مباشرة

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

4. -0.05

$\begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix}$

6. جميع ما سبق

7. ضرب الطرفين في

A⁻¹

من اليسار:

A⁻¹AX = A⁻¹B

، وبالتالي

X = A⁻¹B

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/ngfk6e