مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية

رحلة عبر خط الأعداد من الطبيعية إلى الحقيقية

مقدمة: الأعداد الحقيقية والتخيلية

في عالم الرياضيات، لدينا مجموعتان رئيسيتان:

الأعداد الحقيقية: جميع الأعداد الموجودة على خط الأعداد
الأعداد التخيلية: أعداد خاصة تحتوي على الوحدة التخيلية $i$ (سندرسها لاحقاً)

في هذا الدرس، سنركز على الأعداد الحقيقية وننظر إلى خط الأعداد من $-\infty$ إلى $+\infty$ .

كل الأرقام الموجودة على هذا الخط هي أعداد حقيقية.

خط الأعداد التفاعلي

اختر مجموعة الأعداد:

مستوى التكبير:

المستوى: 2

التسلسل الهرمي لمجموعات الأعداد

كل مجموعة تشمل المجموعة التي تحتها:

الأعداد الحقيقية ℝ

الأعداد غير النسبية

الأعداد النسبية ℚ

الأعداد الصحيحة ℤ

الأعداد الكلية 𝕎

الأعداد الطبيعية ℕ

مجموعة (1): الأعداد الطبيعية ℕ

تعريف الأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها للعد الطبيعي:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...\}

خصائص مهمة:

تبدأ من الرقم 1
لا تشمل الصفر (نقطة مهمة جداً)
لا تشمل الكسور أو الأعداد العشرية
لا تشمل الأعداد السالبة
تستمر إلى ما لا نهاية

مثال: عند عد الأشياء نقول: واحد، اثنان، ثلاثة... هذه هي الأعداد الطبيعية

مجموعة (2): الأعداد الكلية 𝕎

تعريف الأعداد الكلية

الأعداد الكلية = الأعداد الطبيعية + الصفر:

\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...\}

العلاقة مع الأعداد الطبيعية:

\mathbb{W} = \mathbb{N} \cup \{0\}

أي أن الأعداد الكلية تشمل جميع الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر

الفرق الوحيد: إضافة العدد صفر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية

مجموعة (3): الأعداد الصحيحة ℤ

تعريف الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر:

\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}

خصائص الأعداد الصحيحة:

تشمل جميع الأعداد الكلية
تشمل الأعداد السالبة: $..., -3, -2, -1$
تحقق التناظر حول الصفر
لا تزال لا تشمل الكسور

التناظر: لكل عدد موجب يوجد نظيره السالب:

+3

-3

+7

-7

مجموعة (4): الأعداد النسبية ℚ

تعريف الأعداد النسبية

الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}

أمثلة على الأعداد النسبية:

\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{-5}{7}, \frac{22}{7}, 0.75, 0.333...

لماذا تشمل الأعداد الصحيحة؟

لأن أي عدد صحيح يمكن كتابته على شكل كسر:

1 = \frac{2}{2}, \quad 4 = \frac{8}{2}, \quad -4 = \frac{-8}{2}

سبب التسمية: تسمى "نسبية" لأنها تمثل النسبة بين عددين صحيحين

الأعداد المشهورة غير النسبية

العدد π (باي)

\pi = 3.14159265...

محيط الدائرة ÷ قطرها

العدد e (أويلر)

e = 2.71828182...

أساس اللوغاريتم الطبيعي

الجذر التربيعي

\sqrt{2} = 1.41421356...

أول عدد غير نسبي تم اكتشافه

النسبة الذهبية

\phi = 1.61803398...

النسبة الجمالية في الطبيعة

مجموعة (5): الأعداد غير النسبية

تعريف الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل كسر $\frac{a}{b}$ :

خصائص الأعداد غير النسبية:

لا تنتهي ولا تتكرر في التمثيل العشري
تملأ الفراغات بين الأعداد النسبية
أكبر بكثير من مجموعة الأعداد النسبية
تشمل معظم الجذور والثوابت الرياضية

مفاجأة رياضية:

بين أي عددين نسبيين (مثل $\frac{1}{4}$ و $\frac{1}{2}$ ) يوجد عدد لا نهائي من الأعداد غير النسبية!

حقيقة مذهلة: مجموعة الأعداد غير النسبية أكبر بما لا يقاس من مجموعة الأعداد النسبية

مثال (1): تصنيف الأعداد

صنف الأعداد التالية إلى مجموعاتها

الأعداد المعطاة:

5, -3, \frac{2}{7}, 0, \sqrt{3}, \pi, -\frac{1}{4}, 0.25, \sqrt{16}

التصنيف:

طبيعية: $5$
كلية: $5, 0$
صحيحة: $5, -3, 0, 4$ (حيث $\sqrt{16} = 4$ )
نسبية: $5, -3, \frac{2}{7}, 0, -\frac{1}{4}, 0.25, 4$
غير نسبية: $\sqrt{3}, \pi$

ملاحظة:

0.25 = \frac{1}{4}

لذا هو عدد نسبي، و

\sqrt{16} = 4

عدد صحيح

مثال (2): البرهان على أن √2 غير نسبي

برهان بالتناقض

الفرضية:

نفترض أن $\sqrt{2}$ عدد نسبي، أي يمكن كتابته على شكل $\frac{p}{q}$ حيث $p, q$ أعداد صحيحة و $q \neq 0$

التبسيط:

نفترض أن $\frac{p}{q}$ في أبسط صورة (أي أن $p$ و $q$ أوليان نسبياً)

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

تربيع الطرفين:

2 = \frac{p^2}{q^2}

2q^2 = p^2

الاستنتاج:

هذا يعني أن $p^2$ عدد زوجي، وبالتالي $p$ عدد زوجي. لنكتب $p = 2k$ :

2q^2 = (2k)^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

هذا يعني أن $q$ أيضاً عدد زوجي!

التناقض: إذا كان كل من

p

q

زوجي، فإن

\frac{p}{q}

ليس في أبسط صورة، مما يناقض فرضيتنا. لذا

\sqrt{2}

غير نسبي.

مثال (3): كثافة الأعداد غير النسبية

أوجد عدداً غير نسبي بين 0.3 و 0.4

الطريقة الأولى: استخدام π

\frac{\pi}{10} = \frac{3.14159...}{10} = 0.314159...

هذا العدد يقع بين 0.3 و 0.4 وهو غير نسبي

الطريقة الثانية: استخدام الجذور

\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1.41421...}{4} = 0.35355...

هذا العدد أيضاً يقع بين 0.3 و 0.4 وهو غير نسبي

النتيجة: يمكن إيجاد عدد لا نهائي من الأعداد غير النسبية في أي فترة مهما كانت صغيرة

مثال (4): العمليات على الأعداد الحقيقية

ما نوع ناتج العمليات التالية؟

نسبي + نسبي:

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

غير نسبي + غير نسبي:

\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}

\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0

نسبي × غير نسبي:

3 \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}

0 \times \sqrt{2} = 0

خلاصة: نوع الناتج يعتمد على العملية والأعداد المحددة، وليس فقط على نوع الأعداد الأصلية

مثال (5): تطبيقات عملية

أمثلة من الحياة العملية

في الهندسة:

طول قطر المربع الذي طول ضلعه 1 هو $\sqrt{2}$ (غير نسبي)
محيط دائرة نصف قطرها 1 هو $2\pi$ (غير نسبي)

في الفيزياء:

ثابت أويلر $e$ يظهر في النمو الأسي والاضمحلال الإشعاعي
النسبة الذهبية $\phi$ تظهر في أشكال كثيرة في الطبيعة

في التكنولوجيا:

الحاسوب يمثل الأعداد غير النسبية بدقة محدودة
$\pi$ يستخدم في برمجة الرسومات والألعاب

الأهمية: الأعداد غير النسبية ضرورية لوصف العالم الطبيعي والتكنولوجي بدقة

خلاصة مهمة

مجموعة الأعداد الحقيقية تتكون من:

الأعداد النسبية: التي يمكن كتابتها على شكل كسر
الأعداد غير النسبية: التي لا يمكن كتابتها على شكل كسر

معاً، هاتان المجموعتان تغطيان كامل خط الأعداد من $-\infty$ إلى $+\infty$ .

وبشكل مدهش، الأعداد غير النسبية أكثر بكثير من الأعداد النسبية على خط الأعداد!

الأعداد الحقيقية (Real Numbers)