معدل التغيير و التفاضل و الاشتقاق

معدل التغير - من المتوسط إلى اللحظي معدل التغير - من المتوسط إلى اللحظي

أهداف الدرس

  • فهم مفهوم متوسط معدل التغير
  • حساب متوسط معدل التغير بين نقطتين
  • فهم الانتقال من معدل التغير المتوسط إلى اللحظي
  • إدراك العلاقة بين معدل التغير والتفاضل

ما هو معدل التغير؟

معدل التغير يقيس كيف تتغير الدالة عندما تتغير قيمة المتغير المستقل.

الفكرة الأساسية:

  • متوسط معدل التغير: كيف تتغير الدالة في المتوسط بين نقطتين
  • معدل التغير اللحظي: كيف تتغير الدالة عند نقطة واحدة محددة

متوسط معدل التغير بين x₁ و x₂:

\text{معدل التغير} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

استكشاف تفاعلي: من المتوسط إلى اللحظي

شاهد كيف يتحول معدل التغير المتوسط إلى معدل التغير اللحظي

متوسط معدل التغير

استكشف كيف يتغير معدل التغير المتوسط بين نقطتين على الدالة:

الدالة f(x) = -x³ + 3x
الخط القاطع (ميله = معدل التغير)

متوسط معدل التغير بين نقطتين

-1
1

من المتوسط إلى اللحظي

إيجاد القمم والقيعان

فهم العلاقة: معدل التغير والمشتقة

معدل التغير سلوك الدالة المعنى
موجب تصاعدية الدالة تزداد
سالب تنازلية الدالة تتناقص
صفر قمة أو قاع نقطة حرجة

القاعدة المهمة: المشتقة ونقاط القمة والقاع

عندما تكون المشتقة (معدل التغير اللحظي) = صفر:

f'(x) = 0

• فإننا عند قمة أو قاع أو نقطة انقلاب

• لإيجاد القمم والقيعان: نحسب المشتقة ونجعلها تساوي صفر

أمثلة محلولة
حساب متوسط معدل التغير
1
أوجد متوسط معدل التغير للدالة f(x) = -x^3 + 3x بين x_1 = 0 و x_2 = 1
الحل:
نحسب f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2
نحسب f(0) = -(0)^3 + 3(0) = 0

متوسط معدل التغير = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{2 - 0}{1} = 2

التفسير: الدالة تزداد بمعدل 2 وحدة لكل وحدة في x بين 0 و 1.
إيجاد المشتقة
2
أوجد مشتقة الدالة f(x) = -x^3 + 3x
الحل:
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x)
f'(x) = -3x^2 + 3

التفسير: هذه المشتقة تعطينا معدل التغير اللحظي عند أي نقطة x.
إيجاد القمم والقيعان
3
أوجد القمم والقيعان للدالة f(x) = -x^3 + 3x
الحل:
نضع المشتقة = 0
f'(x) = -3x^2 + 3 = 0
-3x^2 = -3
x^2 = 1
x = \pm 1

عند x = 1: f(1) = 2 (قمة محلية)
عند x = -1: f(-1) = -2 (قاع محلي)

التفسير: الدالة لها قمة عند (1, 2) وقاع عند (-1, -2).
معدل التغير اللحظي
4
أوجد معدل التغير اللحظي للدالة f(x) = -x^3 + 3x عند x = 1
الحل:
نستخدم المشتقة: f'(x) = -3x^2 + 3
عند x = 1: f'(1) = -3(1)^2 + 3 = -3 + 3 = 0

التفسير: معدل التغير اللحظي = 0 يعني أننا عند قمة محلية.
ملاحظة مهمة: معدل التغير اللحظي هو أساس التفاضل. عندما نقرب النقطتين من بعضهما حتى تصبح المسافة بينهما صغيرة جداً (تقترب من الصفر)، نحصل على المشتقة عند تلك النقطة.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
308
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...