دائرة الوحدة
في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:
- تعريف دائرة الوحدة وفهم خصائصها الأساسية
- تحديد إحداثيات أي نقطة على دائرة الوحدة باستخدام الدوال المثلثية
- فهم العلاقة بين الزاوية والإحداثيات على دائرة الوحدة
- تحديد إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة
دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي واحد، مركزها في نقطة الأصل (0,0). سُميت بدائرة الوحدة لأن نصف قطرها يساوي وحدة واحدة.
تم استحداث دائرة الوحدة لدراسة الحركات الدائرية، حيث يمكننا أن نفترض أن أي جسم يتحرك بحركة دائرية يتحرك على دائرة الوحدة، مما يسهل تحليل حركته.
عندما يتحرك جسم على دائرة الوحدة بزاوية θ من المحور الموجب للـ x:
إحداثي x = cos(θ)
إحداثي y = sin(θ)
أي نقطة على دائرة الوحدة = (cos θ, sin θ)
عند إسقاط خط من النقطة على محور x، نحصل على مثلث قائم الزاوية:
- الوتر = نصف القطر = 1
- الضلع المجاور = إحداثي x
- الضلع المقابل = إحداثي y
وبما أن: cos θ = المجاور ÷ الوتر = x ÷ 1 = x
وكذلك: sin θ = المقابل ÷ الوتر = y ÷ 1 = y
إذا تحرك جسم على دائرة الوحدة بزاوية 70°:
- إحداثي x = cos(70°) ≈ 0.342
- إحداثي y = sin(70°) ≈ 0.940
- النقطة ستكون عند (0.342, 0.940)
من إشارة sin و cos نستطيع معرفة في أي ربع يقع الجسم:
الربع الأول (0° - 90°)
x موجب، y موجب
sin θ موجب، cos θ موجب
الربع الثاني (90° - 180°)
x سالب، y موجب
sin θ موجب، cos θ سالب
الربع الثالث (180° - 270°)
x سالب، y سالب
sin θ سالب، cos θ سالب
الربع الرابع (270° - 360°)
x موجب، y سالب
sin θ سالب، cos θ موجب
اتجاه الحركة:
- إذا كان الجسم يتحرك عكس عقارب الساعة (إلى الأعلى) ← الزاوية موجبة
- إذا كان الجسم يتحرك مع عقارب الساعة (إلى الأسفل) ← الزاوية سالبة
دائرة الوحدة سهلت علينا دراسة الحركة الدائرية بطرق عديدة:
- من الزاوية نعرف موقع الجسم بدقة (إحداثيات x و y)
- نستطيع تحديد في أي ربع يقع الجسم
- نفهم العلاقة بين الدوال المثلثية والحركة الدائرية
- نستطيع دراسة الحركات المعقدة بتبسيطها إلى حركة على دائرة الوحدة