دالة السيكانت

تعريف دالة السيكانت

دالة السيكانت هي إحدى الدوال المثلثية، وهي معكوس دالة الكوساين. تُستخدم في تطبيقات الرياضيات والفيزياء والهندسة.

التعريف الأساسي:

\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}

في المثلث القائم:

\sec(\theta) = \frac{\text{الوتر}}{\text{الضلع المجاور}}

خصائص دالة السيكانت

الخصائص الأساسية:

المجال (Domain): جميع الأعداد الحقيقية عدا $\theta = 90° + 180°n$ حيث $n$ عدد صحيح
المدى (Range): $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
طول الدورة: $360°$ أو $2\pi$ راديان
السعة: غير معرّفة (تذهب إلى $\pm\infty$ )
سلوك الدالة: لها قيم دنيا وعليا محلية

⚠️ نقطة مهمة

دالة السيكانت غير معرّفة عند النقاط التي يكون فيها

\cos(\theta) = 0

، أي عند:

\theta = 90°, 270°, 450°, \ldots = 90° + 180°n

القيم الخاصة لدالة السيكانت

الزاوية (درجة)	الزاوية (راديان)	قيمة السيكانت	القيمة العشرية
$0°$	$0$	$1$	$1$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1.155$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$\sqrt{2}$	$1.414$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$2$	$2$
$120°$	$\frac{2\pi}{3}$	$-2$	$-2$
$135°$	$\frac{3\pi}{4}$	$-\sqrt{2}$	$-1.414$
$150°$	$\frac{5\pi}{6}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-1.155$
$180°$	$\pi$	$-1$	$-1$

الرسم البياني لدالة السيكانت

الرسم البياني

ملاحظات على الرسم البياني:

الخطوط المتقطعة الحمراء تمثل النقاط غير المعرّفة
الدالة تتكرر كل $360°$
القيم دائماً $\geq 1$ أو $\leq -1$
عندما $\cos(\theta) = 0$ ، فإن $\sec(\theta) \to \pm\infty$
عندما $\cos(\theta) = \pm 1$ ، فإن $\sec(\theta) = \pm 1$

أمثلة محلولة

مثال 1: حساب قيمة السيكانت

المطلوب: احسب قيمة $\sec(240°)$

الحل:

الخطوة 1: تحليل الزاوية

240° = 180° + 60°

الزاوية في الربع الثالث

الخطوة 2: إيجاد قيمة الكوساين

\cos(240°) = \cos(180° + 60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}

الخطوة 3: حساب السيكانت

\sec(240°) = \frac{1}{\cos(240°)} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2

الجواب:

\sec(240°) = -2

مثال 2: إيجاد الزاوية من قيمة السيكانت

المطلوب: إذا كان $\sec(\theta) = 2$ ، أوجد قيمة $\theta$ في الفترة $[0°, 360°)$

الحل:

الخطوة 1: تحويل إلى كوساين

\sec(\theta) = 2 \Rightarrow \frac{1}{\cos(\theta)} = 2 \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{1}{2}

الخطوة 2: إيجاد الزوايا

نعلم أن $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

الكوساين موجب في الربعين الأول والرابع

الخطوة 3: الحلول النهائية

في الربع الأول: $\theta = 60°$

في الربع الرابع: $\theta = 360° - 60° = 300°$

الخطوة 4: التحقق

$\sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ ✓
$\sec(300°) = \frac{1}{\cos(300°)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ ✓

الجواب:

\theta = 60°, 300°

مثال 3: حل معادلة مثلثية

المطلوب: حل المعادلة $\sec^2(x) = 4$ في الفترة $[0°, 360°)$

الحل:

الخطوة 1: أخذ الجذر التربيعي

\sec^2(x) = 4 \Rightarrow \sec(x) = \pm 2

الخطوة 2: حل

\sec(x) = 2

\sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}

الحلول: $x = 60°, 300°$

الخطوة 3: حل

\sec(x) = -2

\sec(x) = -2 \Rightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2}

الحلول: $x = 120°, 240°$

الجواب:

x = 60°, 120°, 240°, 300°

مثال 4: استخدام المتطابقات

المطلوب: بسّط التعبير: $\sec(x) \times \cos(x)$

الحل:

التبسيط المباشر:

\sec(x) \times \cos(x) = \frac{1}{\cos(x)} \times \cos(x) = \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 1

الجواب:

\sec(x) \times \cos(x) = 1

(عندما تكونان معرّفتين)

مثال 5: تطبيق هندسي

المطلوب: في مثلث قائم الزاوية، إذا كان الوتر = 10 سم والضلع المجاور = 6 سم، أوجد $\sec(\theta)$ والزاوية $\theta$

الحل:

الخطوة 1: تطبيق تعريف السيكانت

\sec(\theta) = \frac{\text{الوتر}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

الخطوة 2: إيجاد الزاوية

\cos(\theta) = \frac{1}{\sec(\theta)} = \frac{3}{5} = 0.6

\theta = \arccos(0.6) \approx 53.13°

الخطوة 3: التحقق (اختياري)

الضلع المقابل = $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ سم

$\cos(\theta) = \frac{6}{10} = 0.6$ ✓

الجواب:

\sec(\theta) = \frac{5}{3}

والزاوية

\theta \approx 53.13°

مثال 6: السيكانت بالراديان

المطلوب: احسب قيمة $\sec\left(\frac{4\pi}{3}\right)$

الحل:

الخطوة 1: تحويل إلى درجات (اختياري)

\frac{4\pi}{3} = \frac{4 \times 180°}{3} = 240°

الخطوة 2: تحليل الزاوية

\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}

الزاوية في الربع الثالث

الخطوة 3: حساب الكوساين

\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}

الخطوة 4: حساب السيكانت

\sec\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2

الجواب:

\sec\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -2

خطوات حل مسائل السيكانت

المنهجية العامة:

تحديد الزاوية: تأكد من وحدة القياس (درجة أو راديان)
فحص التعريف: تحقق من أن الزاوية ليست من النقاط غير المعرّفة ( $90° + 180°n$ )
استخدام القيم الخاصة: إذا كانت الزاوية معروفة
تطبيق خصائص الدورة: لتبسيط الزوايا الكبيرة
استخدام التعريف: $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$
تحديد الربع: لمعرفة إشارة النتيجة