الحادثة المتممة
هدف الدرس
في هذا الدليل سنتعلم مفهوم الحادثة المتممة وكيفية حساب احتمال عدم وقوع حدث معين باستخدام القاعدة الأساسية للاحتمال المتمم
1. تعريف الحادثة المتممة
ما هو احتمال أن هذا الحدث لا يقع؟
الرموز المستخدمة:
- A: الحدث الأصلي
- A': الحادثة المتممة (يُقرأ "A مكمل")
- P(A): احتمال وقوع الحدث A
- P(A'): احتمال عدم وقوع الحدث A
2. القاعدة الأساسية
قانون الحادثة المتممة
بالعربي: احتمال عدم الحدوث = واحد ناقص احتمال الحدوث
التفسير البصري:
لأن مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة يساوي دائماً 1 (أي 100%)
3. مثال: رمي قطعة النرد - الرقم 3
السؤال: ما هو احتمال أن الرقم 3 لا يظهر؟
الأخضر: الرقم 3 يظهر
البرتقالي: الرقم 3 لا يظهر
- احتمال ظهور الرقم 3: P(3) = 1/6
- احتمال عدم ظهور الرقم 3: P(3') = 1 - P(3)
- النتيجة: P(3') = 1 - 1/6 = 5/6
التحقق من النتيجة:
الأرقام التي ليست 3: {1, 2, 4, 5, 6}
عددها: 5 أرقام من أصل 6
الاحتمال: 5/6 ✓
4. مثال: رمي قطعة النرد - الأعداد الزوجية
السؤال: ما هو احتمال عدم ظهور عدد زوجي؟
الأخضر: أعداد زوجية (2, 4, 6)
البرتقالي: أعداد فردية (1, 3, 5)
- الأعداد الزوجية: {2, 4, 6} → عددها 3
- احتمال ظهور عدد زوجي: P(زوجي) = 3/6 = 1/2
- احتمال عدم ظهور عدد زوجي: P(زوجي') = 1 - 1/2 = 1/2
التحقق من النتيجة:
الأعداد الفردية: {1, 3, 5}
عددها: 3 أرقام من أصل 6
الاحتمال: 3/6 = 1/2 ✓
5. استراتيجية الحل العامة
خطوات حل مسائل الحادثة المتممة:
- حدد الحدث الأصلي A
- احسب احتمال وقوع الحدث P(A)
- طبق القانون: P(A') = 1 - P(A)
- تحقق من النتيجة (اختياري)
الطريقة المباشرة
حساب احتمال الحادثة المتممة مباشرة
- عدد النتائج المطلوبة
- ÷ إجمالي النتائج الممكنة
- قد تكون معقدة أحياناً
طريقة المتمم
استخدام قانون P(A') = 1 - P(A)
- احسب الحدث الأصلي
- اطرح من 1
- أسهل وأسرع غالباً
6. تطبيقات متنوعة
مثال 1: رمي عملة معدنية
السؤال: ما احتمال عدم ظهور وجه الصورة؟
- P(صورة) = 1/2
- P(عدم الصورة) = 1 - 1/2 = 1/2
مثال 2: سحب كرة من صندوق
الصندوق: 8 كرات حمراء، 12 كرة زرقاء (المجموع: 20 كرة)
السؤال: ما احتمال عدم سحب كرة حمراء؟
- P(حمراء) = 8/20 = 2/5
- P(غير حمراء) = 1 - 2/5 = 3/5
مثال 3: اختيار رقم عشوائي
من الأرقام: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
السؤال: ما احتمال ألا يكون الرقم أكبر من 7؟
- الأرقام الأكبر من 7: {8, 9, 10} → عددها 3
- P(أكبر من 7) = 3/10
- P(ليس أكبر من 7) = 1 - 3/10 = 7/10
7. الأخطاء الشائعة وكيفية تجنبها
خطأ شائع رقم 1:
الخطأ: الخلط بين الحدث ومتممه
المثال: "ما احتمال عدم ظهور 3" → حساب احتمال ظهور 3 بدلاً من عدم ظهوره
الحل: اقرأ السؤال بعناية وحدد ما المطلوب بالضبط
خطأ شائع رقم 2:
الخطأ: نسيان طرح النتيجة من 1
المثال: حساب P(A) = 1/4 والتوقف عندها بدلاً من حساب P(A') = 3/4
الحل: تذكر دائماً القانون P(A') = 1 - P(A)
خطأ شائع رقم 3:
الخطأ: الخطأ في العد
المثال: عد النتائج المطلوبة أو الإجمالية بشكل خاطئ
الحل: اكتب جميع النتائج الممكنة وعدها بعناية
8. تمارين تطبيقية
تمرين 1: رمي النرد
ما احتمال عدم ظهور رقم أكبر من 4؟
اضغط لرؤية الحل
الحل:
- الأرقام الأكبر من 4: {5, 6} → عددها 2
- P(أكبر من 4) = 2/6 = 1/3
- P(ليس أكبر من 4) = 1 - 1/3 = 2/3
تمرين 2: سحب ورقة
من مجموعة 52 ورقة لعب، ما احتمال عدم سحب ورقة من نوع القلوب؟
اضغط لرؤية الحل
الحل:
- أحرف العلة: {A, E} → عددها 2
- P(حرف علة) = 2/5
- P(ليس حرف علة) = 1 - 2/5 = 3/5
تمرين 4: مسألة مركبة
صندوق يحتوي على 15 كرة: 6 حمراء، 4 زرقاء، 5 خضراء. ما احتمال عدم سحب كرة زرقاء؟
اضغط لرؤية الحل
الحل:
- إجمالي الكرات: 15
- الكرات الزرقاء: 4
- P(زرقاء) = 4/15
- P(ليست زرقاء) = 1 - 4/15 = 11/15
التحقق: الكرات غير الزرقاء = 6 + 5 = 11 كرة → 11/15 ✓
9. أمثلة متقدمة
مثال 1: رمي نردين
السؤال: ما احتمال ألا يكون مجموع النردين 7؟
- إجمالي النتائج الممكنة: 6 × 6 = 36
- الطرق للحصول على مجموع 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 طرق
- P(مجموع = 7) = 6/36 = 1/6
- P(مجموع ≠ 7) = 1 - 1/6 = 5/6
مثال 2: اختيار عشوائي من مجموعة
المجموعة: الأرقام من 1 إلى 100
السؤال: ما احتمال ألا يكون الرقم المختار من مضاعفات العدد 10؟
- مضاعفات 10 من 1 إلى 100: {10, 20, 30, ..., 100} → 10 أرقام
- P(مضاعف 10) = 10/100 = 1/10
- P(ليس مضاعف 10) = 1 - 1/10 = 9/10
10. متى نستخدم الحادثة المتممة؟
استخدم الطريقة المباشرة عندما:
- النتائج المطلوبة قليلة وسهلة العد
- السؤال واضح ومباشر
- لا توجد تعقيدات في الحساب
استخدم طريقة المتمم عندما:
- النتائج غير المرغوبة كثيرة
- حساب الحدث الأصلي أسهل
- السؤال يتضمن "عدم" أو "لا"
"ما احتمال ألا يكون الرقم المختار من {1,2,3,...,100} هو 73؟"
طريقة المتمم: P(≠73) = 1 - 1/100 = 99/100
الطريقة المباشرة: عد 99 رقماً! (معقد ومضيع للوقت)
11. خصائص الحادثة المتممة
الخصائص الأساسية:
| الخاصية | الصيغة | المعنى |
|---|---|---|
| مجموع الحدث ومتممه | P(A) + P(A') = 1 | يغطيان جميع الاحتمالات |
| متمم المتمم | (A')' = A | متمم المتمم هو الأصل |
| الحدث المؤكد | P(Ω') = 0 | متمم الحدث المؤكد مستحيل |
| الحدث المستحيل | P(∅') = 1 | متمم المستحيل مؤكد |
النقاط الرئيسية
- التعريف: الحادثة المتممة هي احتمال عدم وقوع حدث معين
- القانون الأساسي: P(A') = 1 - P(A)
- المجموع: احتمال الحدث + احتمال متممه = 1 دائماً
- الاستخدام: مفيد عندما يكون حساب الحدث الأصلي أسهل من حساب المتمم مباشرة
- التحقق: يمكن التحقق من النتيجة بالعد المباشر
- الرموز: A' أو Aᶜ للحادثة المتممة
- التطبيقات: مفيد في الألعاب، الاختيارات العشوائية، والمسائل الاحتمالية المختلفة
- الاستراتيجية: اقرأ السؤال بعناية لتحديد ما إذا كان يطلب الحدث أم متممه
تمرين 3: اختيار حرف
من الأحرف A, B, C, D, E، ما احتمال عدم اختيار حرف علة (A, E)؟
اضغط لرؤية الحل
الحل:
- أ ```