مساحة المثلث بالقانون العام

مساحة المثلث من زاوية مختلفة مساحة المثلث من زاوية مختلفة

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

  • حساب مساحة المثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما
  • فهم العلاقة بين الزاوية ومساحة المثلث
  • معرفة متى تكون مساحة المثلث أكبر ما يمكن
  • تطبيق القاعدة الجديدة في حل المسائل
القاعدة التقليدية لمساحة المثلث

نحن تعودنا في الرياضيات أن نقول:

مساحة المثلث = \frac{1}{2} \times القاعدة \times الارتفاع

وهذا يعني أن نأخذ أحد الأضلاع ونعتبره القاعدة، ثم نحسب الارتفاع (المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل).

التحدي: أحياناً نواجه صعوبة في إيجاد الارتفاع، خصوصاً إذا كان المثلث:
  • غير قائم الزاوية
  • منفرج الزاوية
  • في مسألة هندسية معقدة
القاعدة الجديدة: مساحة المثلث بدلالة الزاوية

سنتعلم قاعدة جديدة وشاملة لحساب مساحة أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:

مساحة المثلث = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)

حيث:

  • a و b طولا ضلعين في المثلث
  • C الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين
استكشف تأثير الزاوية على المساحة
60°
المساحة = ½ × 5 × 4 × sin(60°) = 8.66 وحدة مربعة

قيمة sin(C) مع تغير الزاوية

لماذا نستخدم دالة الجيب (Sine)؟

لاحظ سلوك مساحة المثلث مع تغير الزاوية:

  • عندما تكون الزاوية صغيرة (قريبة من 0°) ← المساحة صغيرة
  • كلما زادت الزاوية ← تزداد المساحة
  • المساحة تصل إلى القمة عند 90°
  • بعد 90°، كلما زادت الزاوية ← تقل المساحة
  • عند 180° ← المساحة = 0 (لا يوجد مثلث)

هذا السلوك يطابق تماماً سلوك دالة الجيب (sine):

  • \sin(0°) = 0
  • \sin(90°) = 1 (القيمة العظمى)
  • \sin(180°) = 0
الحالة الخاصة: الزاوية القائمة

ماذا يحدث عندما تكون الزاوية بين الضلعين = 90°؟

القاعدة الجديدة

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(90°)

= \frac{1}{2} \times a \times b \times 1

= \frac{1}{2} \times a \times b

القاعدة التقليدية

في المثلث القائم:

القاعدة = a

الارتفاع = b

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b

النتيجة: القاعدة الجديدة أشمل وأعم من القاعدة التقليدية، وتتحول إليها في حالة الزاوية القائمة!
أمثلة تطبيقية
مثال 1: حساب مساحة مثلث

في مثلث ABC، إذا كان:

  • AB = 8 سم
  • AC = 6 سم
  • الزاوية A = 30°

احسب مساحة المثلث.

مثال 2: مثلث بزاوية منفرجة

في مثلث XYZ، إذا كان:

  • XY = 10 سم
  • XZ = 7 سم
  • الزاوية X = 120°

احسب مساحة المثلث.

مثال 3: مقارنة مساحات مثلثات بنفس الأضلاع

لدينا ثلاثة مثلثات، جميعها لها نفس طولي الضلعين: 5 سم و 8 سم، ولكن الزاوية بينهما مختلفة:

  • المثلث الأول: الزاوية = 45°
  • المثلث الثاني: الزاوية = 90°
  • المثلث الثالث: الزاوية = 135°

قارن بين مساحات المثلثات الثلاثة.

الصيغ الثلاث للقاعدة

يمكن استخدام أي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)

المساحة = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin(A)

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin(B)

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
17
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...