دالة الظل (التان) - التمثيل والخصائص

دالة الظل (التان) - التمثيل والخصائص دالة الظل (التان) - التمثيل والخصائص

الأهداف

فهم تعريف دالة الظل: tan θ = sin θ / cos θ
ربط دالة الظل بدائرة الوحدة
فهم سلوك الدالة في الأرباع المختلفة
تحديد الخطوط المقاربة والمجال والمدى
فهم أن دورة دالة الظل هي 180° وليس 360°

دالة الظل (التان) هي واحدة من أهم الدوال المثلثية وأكثرها إثارة للاهتمام! تتكون من نسبة دالتي الجيب وجيب التمام، مما يعطيها خصائص فريدة مثل الخطوط المقاربة العمودية والدورة القصيرة (180° فقط). دعونا نستكشف كيف تتشكل هذه الدالة المذهلة من دائرة الوحدة ولماذا تسلك هذا السلوك المميز.

📐 تعريف دالة الظل

tan θ = sin θ / cos θ
دالة الظل = الجيب ÷ جيب التمام

🎯 شاهد كيف تتكون دالة الظل

شاهد كيف ينتج tan من قسمة sin على cos

عندما cos θ = 0، تصبح دالة الظل غير معرّفة (∞)

دالة الظل ودائرة الوحدة

⭕ فهم دالة الظل من خلال دائرة الوحدة

🔍 استكشاف تفاعلي لدائرة الوحدة

دائرة الوحدة

رسم دالة الظل

حرك النقطة لترى كيف تتغير قيمة tan

الربع الأول (0° - 90°)

sin > 0, cos > 0
tan = (+) / (+) = موجب

الربع الثاني (90° - 180°)

sin > 0, cos < 0
tan = (+) / (-) = سالب

الربع الثالث (180° - 270°)

sin < 0, cos < 0
tan = (-) / (-) = موجب

الربع الرابع (270° - 360°)

sin < 0, cos > 0
tan = (-) / (+) = سالب

الخطوط المقاربة العمودية

📈 خطوط اللانهاية العمودية

دالة الظل تذهب إلى ∞ عندما cos θ = 0 (عند 90°، 270°، ...)

⚠️ شاهد الخطوط المقاربة العمودية

الخطوط المقاربة تحدث عندما cos θ = 0

📍 مواقع الخطوط المقاربة:

θ = 90° + n × 180°

حيث n عدد صحيح (...، -1، 0، 1، 2، ...)

أمثلة: 90°، 270°، 450°، -90°، -270°

الدورة والخصائص

🔄 دورة دالة الظل = 180°

📊 مقارنة الدورات

دالة الظل تكرر نفسها كل 180°، وليس 360°

دالة الظل هي دالة فردية: tan(-θ) = -tan(θ)، وهذا يفسر التناظر حول نقطة الأصل

خصائص دالة الظل الكاملة

الخصائص الأساسية:

📐 التعريف: tan θ = sin θ / cos θ

🔄 الدورة: 180° (أو π راديان)

📈 السعة: غير معرّفة (تذهب إلى ±∞)

📊 المدى: جميع الأعداد الحقيقية (-∞، +∞)

🎯 المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا θ = 90° + n×180°

⚖️ التناظر: دالة فردية (متناظرة حول الأصل)

📋 ملخص تفاعلي شامل

استكشف جميع خصائص دالة الظل

🎓 الخلاصة النهائية:
• التكوين: tan θ = sin θ / cos θ
• الدورة القصيرة: 180° فقط (نصف دورة sin و cos)
• الخطوط المقاربة: عند cos θ = 0 (90°، 270°، ...)
• الإشارة: موجبة في الربعين الأول والثالث، سالبة في الثاني والرابع
• التناظر: دالة فردية متناظرة حول نقطة الأصل
• المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا θ = 90° + n×180°

دالة الظل