قانون جيوب التمام

قانون جيوب التمام قانون جيوب التمام

قانون جيوب التمام

قانون جيوب التمام يعبر عن طول ضلع بدلالة الضلعين الآخرين وجيب تمام (كوساين) الزاوية بينهما.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

حيث:

الصيغ الثلاث للقانون

يمكن كتابة القانون بثلاث صيغ مختلفة حسب الضلع المراد إيجاده:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C

ملاحظة مهمة: الطرف الأيسر دائماً مرتبط بالضلعين الآخرين والزاوية بينهما. هذا يساعدنا على حفظ القانون!

العلاقة مع نظرية فيثاغورس

لاحظ أن قانون جيوب التمام يشبه نظرية فيثاغورس مع إضافة حد إضافي:

نظرية فيثاغورس (للمثلث القائم):

$a^2 = b^2 + c^2$

قانون جيوب التمام (لأي مثلث):

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

ماذا يحدث عندما تكون الزاوية $A = 90°$ ؟

بما أن $\cos(90°) = 0$ ، فإن:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times 0 = b^2 + c^2$

وهذا يعيدنا إلى نظرية فيثاغورس!

تأثير الزاوية على طول الضلع

الزاوية A: 60°

a² = 5² + 4² - 2(5)(4)cos(60°) = 25 + 16 - 40(0.5) = 21
a = 4.58

لاحظ:

كلما قلّت الزاوية (اقتربت من 0°) ← زادت قيمة cos ← زاد المقدار المطروح ← قل طول الضلع المقابل
كلما زادت الزاوية (اقتربت من 180°) ← قلّت قيمة cos (تصبح سالبة) ← قل المقدار المطروح (أو يُضاف) ← زاد طول الضلع المقابل

مثال تطبيقي

مثال: حساب طول ضلع في مثلث

في مثلث ABC، إذا كان:

أوجد طول الضلع $a$ .

الحل:

نطبق قانون جيوب التمام:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9) \cos(120°)$

$a^2 = 49 + 81 - 126 \times (-0.5)$

$a^2 = 49 + 81 + 63 = 193$

$a = \sqrt{193} \approx 13.89$ سم

متى نستخدم قانون جيوب التمام؟

نستخدم قانون جيوب التمام في الحالات التالية: