التباديل

التباديل ببساطة - دليل شامل التباديل ببساطة - دليل شامل

التباديل ببساطة (Permutations)

فهم شامل للتباديل مع الأمثلة العملية والتطبيقات الحياتية

ما هي التباديل؟

التباديل = اختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر
مع أهمية الترتيب
الفرق الجوهري: في التباديل الترتيب مهم جداً، بينما في التوافيق الترتيب غير مهم

التباديل مقابل التوافيق

التباديل

الترتيب مهم

1234 ≠ 4321 ≠ 1243

نتائج أكثر

VS

التوافيق

الترتيب غير مهم

1234 = 4321 = 1243

نتائج أقل

مثال توضيحي

المجموعة: {1, 2, 3, 4}

في التباديل

1234

1243

1324

1342

...

24 ترتيب مختلف

في التوافيق

1234

نفس المجموعة

مهما غيرنا الترتيب

نتيجة واحدة فقط

أنواع التباديل

1. التباديل بدون تكرار

قانون التباديل بدون تكرار
P(n,r) = n! / (n-r)!

حيث n = العدد الكلي للعناصر، r = عدد العناصر المختارة

2. التباديل مع التكرار

قانون التباديل مع التكرار
P(n,r) = n^r

يُستخدم عندما يُسمح بتكرار العناصر

حاسبة التباديل التفاعلية

احسب التباديل بنفسك

أدخل القيم واضغط على الحساب

10 أمثلة محلولة على التباديل

المثال الأول: الأرقام الوظيفية

المسألة: شركة تريد إنشاء أرقام وظيفية مكونة من 4 خانات باستخدام الأرقام من 1 إلى 9 (بدون تكرار). كم عدد الأرقام الوظيفية الممكنة؟

1 تحديد المعطيات: n = 9 (الأرقام من 1 إلى 9)، r = 4 (أربعة خانات)
2 استخدام قانون التباديل بدون تكرار: P(9,4) = 9! / (9-4)!
3 التبسيط: P(9,4) = 9! / 5! = (9 × 8 × 7 × 6 × 5!) / 5!
4 الحساب: P(9,4) = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024
المثال الثاني: لوحات السيارات

المسألة: إذا سُمح بالتكرار في الأرقام الوظيفية (مثل لوحات السيارات)، كم عدد الأرقام الممكنة؟

1 المعطيات: n = 9، r = 4، مع السماح بالتكرار
2 استخدام قانون التباديل مع التكرار: P(9,4) = 9^4
3 الحساب: P(9,4) = 9 × 9 × 9 × 9 = 6561
المثال الثالث: ترتيب الكتب

المسألة: لديك 7 كتب مختلفة وتريد ترتيب 3 منها على الرف. كم طريقة مختلفة للترتيب؟

1 المعطيات: n = 7 كتب، r = 3 مواقع على الرف
2 استخدام قانون التباديل: P(7,3) = 7! / (7-3)!
3 التبسيط: P(7,3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5
4 الناتج: P(7,3) = 210 طريقة
المثال الرابع: كلمات المرور

المسألة: كم كلمة مرور مكونة من 3 أحرف يمكن تكوينها من الأحرف {A, B, C, D, E} بدون تكرار؟

1 المعطيات: n = 5 أحرف، r = 3 مواقع
2 القانون: P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2!
3 الحساب: P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 كلمة مرور
المثال الخامس: أرقام الهواتف

المسألة: كم رقم هاتف من 4 خانات يمكن تكوينه باستخدام الأرقام {1,2,3,4,5,6} مع التكرار؟

1 المعطيات: n = 6 أرقام، r = 4 خانات، مع التكرار
2 القانون: P(6,4) = 6^4
3 الحساب: 6^4 = 1296 رقم هاتف
المثال السادس: ترتيب الألوان

المسألة: لديك 6 ألوان مختلفة وتريد ترتيب 4 منها في لوحة. كم ترتيب مختلف؟

1 المعطيات: n = 6 ألوان، r = 4 مواقع
2 القانون: P(6,4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2!
3 الحساب: P(6,4) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ترتيب
المثال السابع: ترتيب الطلاب

المسألة: في فصل به 10 طلاب، كم طريقة لاختيار وترتيب 3 طلاب في المراكز الثلاثة الأولى؟

1 المعطيات: n = 10 طلاب، r = 3 مراكز
2 القانون: P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7!
3 الحساب: P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 طريقة
المثال الثامن: رموز الأمان

المسألة: كم رمز أمان من 5 خانات يمكن تكوينه من الأرقام {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} مع التكرار؟

1 المعطيات: n = 10 أرقام، r = 5 خانات، مع التكرار
2 القانون: P(10,5) = 10^5
3 الحساب: 10^5 = 100,000 رمز أمان
المثال التاسع: ترتيب الحروف

المسألة: كم كلمة (حقيقية أو غير حقيقية) يمكن تكوينها من حروف كلمة "رياضة" بترتيب مختلف؟

1 تحليل كلمة "رياضة": 5 حروف مختلفة
2 القانون: P(5,5) = 5!
3 الحساب: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 كلمة
المثال العاشر: ترتيب الأرقام الزوجية

المسألة: من الأرقام الزوجية {2,4,6,8}، كم عدد من 3 خانات يمكن تكوينه بدون تكرار؟

1 المعطيات: n = 4 أرقام زوجية، r = 3 خانات
2 القانون: P(4,3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1!
3 الحساب: P(4,3) = 4 × 3 × 2 = 24 عدد

جدول مقارنة سريع

النوع القانون متى نستخدمه مثال
تباديل بدون تكرار P(n,r) = n!/(n-r)! عندما لا نريد تكرار العناصر الأرقام الوظيفية الفريدة
تباديل مع تكرار P(n,r) = n^r عندما نسمح بتكرار العناصر لوحات السيارات
تباديل كاملة P(n,n) = n! ترتيب جميع العناصر ترتيب جميع حروف كلمة

التطبيقات العملية للتباديل

مجالات الاستخدام
  • أمن المعلومات: حساب قوة كلمات المرور والرموز
  • الإدارة: ترتيب الموظفين والمهام
  • البرمجة: خوارزميات الترتيب والبحث
  • الإحصاء: حساب الاحتمالات في التجارب
  • الألعاب: حساب عدد الاستراتيجيات الممكنة
  • التشفير: إنشاء مفاتيح التشفير
نصيحة: تذكر دائماً أن التباديل تُستخدم عندما يكون الترتيب مهماً،
وكلما زاد عدد العناصر، زادت الاحتمالات بشكل كبير!

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
8
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...