الفرق بين دوال المقلوب والمعكوس للدوال المثلثية

المقدمة: لماذا الخلط شائع؟

المشكلة الأساسية:

كثير من الطلاب يخلطون بين:

دوال المقلوب (Reciprocal Functions)
دوال المعكوس (Inverse Functions)

سبب الخلط:

الرمز المشترك: استخدام "-1" في كلا الحالتين
المعنى المختلف: "-1" أحياناً تعني مقلوب، وأحياناً تعني معكوس
عدم وضوح السياق في بعض المراجع

دوال المقلوب (Reciprocal Functions)

التعريف:
دالة المقلوب =

\frac{1}{\text{الدالة الأصلية}}

الدوال الأساسية:

1. القاطع (Secant):

\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}

2. قاطع التمام (Cosecant):

\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

3. ظل التمام (Cotangent):

\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}

خصائص مهمة:
• المدخل: زاوية θ
• المخرج: نسبة عددية
• المعنى: "كم يساوي مقلوب sin θ؟"

التفسير الهندسي لدوال المقلوب

في المثلث القائم:

         |\
    وتر  | \
         |  \
  مقابل  |   \ وتر
         |    \
         |θ____\
           مجاور

الدوال الأساسية:

$\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$
$\cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$

دوال المقلوب:

$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{وتر}}{\text{مقابل}}$
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{وتر}}{\text{مجاور}}$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}}$

أمثلة على دوال المقلوب

مثال 1:

إذا كان $\sin 30° = \frac{1}{2}$ ، أوجد $\csc 30°$

الحل:

\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

مثال 2:

إذا كان $\cos 60° = \frac{1}{2}$ ، أوجد $\sec 60°$

الحل:

\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

مثال 3:

إذا كان $\tan 45° = 1$ ، أوجد $\cot 45°$

الحل:

\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1

دوال المعكوس (Inverse Functions)

التعريف:
دالة المعكوس تجيب على السؤال: "ما هي الزاوية التي تعطي هذه القيمة؟"

الرموز المختلفة:

الرمز الأول (مُحير):

$\sin^{-1}x, \cos^{-1}x, \tan^{-1}x$

تحذير: الـ "-1" هنا ليست أساً!

الرمز الواضح (الأفضل):

$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$

خصائص مهمة:
• المدخل: نسبة عددية
• المخرج: زاوية
• المعنى: "ما هي الزاوية التي sin لها = x؟"

مقارنة شاملة بين المفهومين

الخاصية	دوال المقلوب	دوال المعكوس
التعريف	$\frac{1}{\text{الدالة}}$	الدالة التي تعكس العملية
المدخل	زاوية	نسبة عددية
المخرج	نسبة عددية	زاوية
المثال	$\csc 30° = 2$	$\arcsin(0.5) = 30°$
السؤال	كم مقلوب sin للزاوية؟	ما الزاوية التي sin لها = 0.5؟
الرمز	$\csc, \sec, \cot$	$\arcsin, \arccos, \arctan$

أمثلة مفصلة على دوال المعكوس

مثال 1: معكوس الساين

أوجد $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\sin \theta = \frac{1}{2}$

نعلم أن $\sin 30° = \frac{1}{2}$

\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30°

مثال 2: معكوس الكوساين

أوجد $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

نعلم أن $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

مثال 3: معكوس الظل

أوجد $\arctan(1)$

الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\tan \theta = 1$

نعلم أن $\tan 45° = 1$

\arctan(1) = 45°

مثال توضيحي: نفس الرقم، معنيان مختلفان

المثال:

قارن بين $\sin^{-1}(0.5)$ و $(\sin 30°)^{-1}$

الحالة الأولى: دالة المعكوس

\sin^{-1}(0.5) = \arcsin(0.5) = 30°

المعنى: ما هي الزاوية التي ساينها = 0.5؟

الحالة الثانية: مقلوب القيمة

(\sin 30°)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2

المعنى: ما هو مقلوب العدد 0.5؟

النتيجة:
•

\sin^{-1}(0.5) = 30°

(زاوية)
•

(\sin 30°)^{-1} = 2

(رقم)

جدول القيم الخاصة لدوال المقلوب

الزاوية	sin θ	cos θ	tan θ	csc θ	sec θ	cot θ
0°	0	1	0	غير معرف	1	غير معرف
30°	1/2	√3/2	1/√3	2	2/√3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	√2	√2	1
60°	√3/2	1/2	√3	2/√3	2	1/√3
90°	1	0	غير معرف	1	غير معرف	0

جدول القيم الخاصة لدوال المعكوس

القيمة x	arcsin x	arccos x	arctan x
-1	-90°	180°	-45°
-√3/2	-60°	150°	-
-√2/2	-45°	135°	-
-1/2	-30°	120°	-
0	0°	90°	0°
1/2	30°	60°	-
√2/2	45°	45°	-
√3/2	60°	30°	-
1	90°	0°	45°

مجالات ومديات الدوال

دوال المقلوب:

القاطع (sec θ):

المجال: جميع الزوايا حيث cos θ ≠ 0
المدى: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

قاطع التمام (csc θ):

المجال: جميع الزوايا حيث sin θ ≠ 0
المدى: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

ظل التمام (cot θ):

المجال: جميع الزوايا حيث sin θ ≠ 0
المدى: (-∞, ∞)

دوال المعكوس:

معكوس الساين (arcsin x):

المجال: [-1, 1]
المدى: [-90°, 90°]

معكوس الكوساين (arccos x):

المجال: [-1, 1]
المدى: [0°, 180°]

معكوس الظل (arctan x):

المجال: (-∞, ∞)
المدى: (-90°, 90°)

أمثلة متقدمة: تطبيقات مختلطة

مثال 1: حساب دالة مقلوب من معطيات

في مثلث قائم، إذا كان الضلع المقابل = 3 والوتر = 5، أوجد csc θ

الحل:

$\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{3}{5}$

$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}$

مثال 2: حساب زاوية من دالة معكوس

أوجد الزاوية θ إذا كان $\sin \theta = \frac{3}{5}$

الحل:

$\theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \approx 36.87°$

مثال 3: مقارنة النتائج

قارن بين $\csc\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)$ و $\frac{1}{\frac{3}{5}}$

الحل:

الطريقة الأولى:

$\csc\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) = \csc(36.87°) = \frac{1}{\sin(36.87°)} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

الطريقة الثانية:

$\frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

النتيجة: نفس الإجابة!

مثال 4: مسألة هندسية

المسألة:

سلم طوله 10 أمتار يميل على جدار. إذا كان السلم يصنع زاوية 60° مع الأرض، أوجد:

المسافة من قاعدة الجدار إلى قاعدة السلم
ارتفاع السلم على الجدار

الحل:

1. المسافة الأفقية:

$\cos 60° = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{x}{10}$

$x = 10 \cos 60° = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ متر

2. الارتفاع:

$\sin 60° = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{y}{10}$

$y = 10 \sin 60° = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ متر

التحقق باستخدام دوال المقلوب:

$\sec 60° = \frac{\text{وتر}}{\text{مجاور}} = \frac{10}{5} = 2$ ✓

$\csc 60° = \frac{\text{وتر}}{\text{مقابل}} = \frac{10}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ✓

مثال 5: حل معادلة مثلثية

المسألة:

حل المعادلة: $2\sin\theta - 1 = 0$ في المجال [0°, 360°]

الحل:

إعادة ترتيب:

$2\sin\theta = 1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$

استخدام دالة المعكوس:

$\theta = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30°$

البحث عن الحلول الأخرى:

في المجال [0°, 360°]، $\sin\theta = \frac{1}{2}$ عند:

θ = 30° (الربع الأول)
θ = 180° - 30° = 150° (الربع الثاني)

الحل النهائي: θ = 30°, 150°

مثال 6: تطبيق فيزيائي

المسألة:

قذيفة تُطلق بسرعة 50 م/ث. إذا وصلت إلى مدى أفقي 200 متر، أوجد زاوية الإطلاق. (تجاهل مقاومة الهواء)

المعادلة الفيزيائية:

R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}

حيث:

R = المدى = 200 م
v = السرعة = 50 م/ث
g = التسارع الأرضي = 9.8 م/ث²

الحل:

$200 = \frac{(50)^2 \sin(2\theta)}{9.8}$

$200 = \frac{2500 \sin(2\theta)}{9.8}$

$\sin(2\theta) = \frac{200 \times 9.8}{2500} = 0.784$

استخدام دالة المعكوس:

$2\theta = \arcsin(0.784) \approx 51.7°$

$\theta \approx 25.85°$

الحل الثاني:

$2\theta = 180° - 51.7° = 128.3°$

$\theta \approx 64.15°$

النتيجة: يمكن تحقيق نفس المدى بزاويتين: 25.85° أو 64.15°

الأخطاء الشائعة وكيفية تجنبها

1. الخلط بين الرموز:

❌ خطأ:

\sin^{-1}x = \frac{1}{\sin x}

✅ صحيح:

\sin^{-1}x = \arcsin x

(دالة معكوس)
✅ صحيح:

\frac{1}{\sin x} = \csc x

(دالة مقلوب)

2. عدم التمييز بين المدخل والمخرج:

❌ خطأ: خلط بين "زاوية" و "نسبة"

✅ صحيح:
• دوال المقلوب: زاوية → نسبة
• دوال المعكوس: نسبة → زاوية

3. تجاهل المجالات والمديات:

❌ خطأ:

\arcsin(2) = ?

(خارج المجال)

✅ صحيح:

\arcsin x

معرف فقط لـ

x \in [-1, 1]

4. الخلط في الرموز:

❌ خطأ: كتابة

(\sin x)^{-1}

بدلاً من

\sin^{-1}x

✅ صحيح: استخدام arcsin لتجنب اللبس

نصائح للتمييز السريع

اسأل نفسك هذه الأسئلة:

1. ما نوع المدخل؟

زاوية → دالة مقلوب محتملة
نسبة عددية → دالة معكوس محتملة

2. ما نوع المخرج المتوقع؟

نسبة عددية → دالة مقلوب
زاوية → دالة معكوس

3. ما هو السؤال المطروح؟

"كم مقلوب...؟" → دالة مقلوب
"ما الزاوية التي...؟" → دالة معكوس

جملة للتذكر:
"المقلوب يقلب الكسر، والمعكوس يعكس العملية"

تطبيقات عملية

1. الهندسة المعمارية:

دوال المقلوب: حساب نسب البناء
دوال المعكوس: تحديد زوايا الميل

2. الملاحة:

دوال المقلوب: حساب المسافات
دوال المعكوس: تحديد الاتجاهات

3. الفيزياء:

دوال المقلوب: تحليل القوى
دوال المعكوس: حساب زوايا الحركة

4. هندسة الإشارات:

دوال المقلوب: تحليل الترددات
دوال المعكوس: استرجاع الزوايا

ملخص سريع للمراجعة

دوال المقلوب:

csc θ = 1/sin θ
sec θ = 1/cos θ
cot θ = 1/tan θ
مدخل: زاوية
مخرج: نسبة عددية

دوال المعكوس:

arcsin x (أو sin⁻¹ x)
arccos x (أو cos⁻¹ x)
arctan x (أو tan⁻¹ x)
مدخل: نسبة عددية
مخرج: زاوية

نصيحة ذهبية:
استخدم الرمز "arc" لتجنب اللبس مع الأس "-1"

الخلاصة

الفرق الأساسي:

دوال المقلوب تحسب مقلوب قيمة الدالة المثلثية
دوال المعكوس تجد الزاوية التي تعطي قيمة معينة

للتذكر:

مقلوب = 1 ÷ (قيمة الدالة)
معكوس = الزاوية التي تعطي هذه القيمة

أهمية الفهم:

هذا التمييز أساسي في:

حل المعادلات المثلثية
التطبيقات الهندسية
المسائل الفيزيائية
الحسابات المتقدمة

دالة المقلوب والدالة العكسية

الأهداف

المشكلة الأساسية:

سبب الخلط:

الدوال الأساسية:

1. القاطع (Secant):

2. قاطع التمام (Cosecant):

3. ظل التمام (Cotangent):

في المثلث القائم:

الدوال الأساسية:

دوال المقلوب:

مثال 1:

الحل:

مثال 2:

الحل:

مثال 3:

الحل:

الرموز المختلفة:

الرمز الأول (مُحير):

الرمز الواضح (الأفضل):

مثال 1: معكوس الساين

الحل:

مثال 2: معكوس الكوساين

الحل:

مثال 3: معكوس الظل

الحل:

المثال:

الحالة الأولى: دالة المعكوس

الحالة الثانية: مقلوب القيمة

دوال المقلوب:

القاطع (sec θ):

قاطع التمام (csc θ):

ظل التمام (cot θ):

دوال المعكوس:

معكوس الساين (arcsin x):

معكوس الكوساين (arccos x):

معكوس الظل (arctan x):

مثال 1: حساب دالة مقلوب من معطيات

الحل:

مثال 2: حساب زاوية من دالة معكوس

الحل:

مثال 3: مقارنة النتائج

الحل:

المسألة:

الحل:

1. المسافة الأفقية:

2. الارتفاع:

التحقق باستخدام دوال المقلوب:

المسألة:

الحل:

إعادة ترتيب:

استخدام دالة المعكوس:

البحث عن الحلول الأخرى:

المسألة:

المعادلة الفيزيائية:

الحل:

استخدام دالة المعكوس:

الحل الثاني:

1. الخلط بين الرموز:

2. عدم التمييز بين المدخل والمخرج:

3. تجاهل المجالات والمديات:

4. الخلط في الرموز:

اسأل نفسك هذه الأسئلة:

1. ما نوع المدخل؟

2. ما نوع المخرج المتوقع؟

3. ما هو السؤال المطروح؟

1. الهندسة المعمارية:

2. الملاحة:

3. الفيزياء:

4. هندسة الإشارات:

دوال المقلوب:

دوال المعكوس:

الفرق الأساسي:

للتذكر:

أهمية الفهم:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات