التحويلات الهندسية مع دوال القيمة المطلقة
في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:
- التمييز بين حالتي القيمة المطلقة على الدالة الكاملة أو على المتغير x
- رسم تحويلات القيمة المطلقة على كامل المعادلة
- رسم تحويلات القيمة المطلقة على المتغير x فقط
- فهم أثر القيمة المطلقة على خصائص الدالة
الحالتان الأساسيتان للقيمة المطلقة
عند التعامل مع القيمة المطلقة في الدوال، لدينا حالتان مختلفتان تماماً:
الحالة الأولى
القيمة المطلقة على كامل المعادلة
$|f(x)|$
مثال: $|\sin x|$
مثال: $|x^3 - 4x|$
الحالة الثانية
القيمة المطلقة على المتغير x فقط
$f(|x|)$
مثال: $\sin(|x|)$
مثال: $|x|^3 - 4|x|$
مهم جداً: كل حالة لها طريقة رسم مختلفة تماماً، ويجب التمييز بينهما!
الحالة الأولى: |f(x)| - القيمة المطلقة على كامل المعادلة
1
نرسم الدالة الأصلية f(x) كما هي
2
نحدد الأجزاء السالبة (تحت محور x)
3
نعكس الأجزاء السالبة حول محور x إلى الأعلى
اختر دالة لرؤية تأثير |f(x)|:
الدالة: sin(x) | بعد القيمة المطلقة: |sin(x)| - الأجزاء السالبة انعكست للأعلى
الحالة الثانية: f(|x|) - القيمة المطلقة على المتغير x
1
نرسم الدالة للقيم الموجبة من x فقط (الجهة اليمنى)
2
ننسى الجهة اليسرى تماماً
3
نعكس الرسمة حول محور y (نطابقها على الجهة اليسرى)
اختر دالة لرؤية تأثير f(|x|):
الدالة: sin(x) | بعد التحويل: sin(|x|) - الدالة أصبحت زوجية (متناظرة حول محور y)
لماذا f(|x|) تجعل الدالة زوجية؟
التفسير الرياضي:
القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة، فـ:
- $|-x| = |x|$
- لذلك: $f(|-x|) = f(|x|)$
- وهذا تعريف الدالة الزوجية!
عندما نستبدل x بـ |x|، فإن:
- القيمة عند x = 2 تساوي القيمة عند x = -2
- القيمة عند x = 5 تساوي القيمة عند x = -5
- وهكذا لجميع القيم
النتيجة: دائماً عندما نفرض القيمة المطلقة على x فقط، تصبح الدالة زوجية (متناظرة حول محور y).
إذا طوينا المستوى على محور y، سيتطابق الجانب الأيمن مع الأيسر تماماً!
حالة خاصة: عندما لا تؤثر القيمة المطلقة
إذا كانت الدالة بأكملها موجبة (فوق محور x)، فإن |f(x)| لن تغير شيئاً!
مثال: sin(x) + 2
بما أن sin(x) محصورة بين -1 و 1، فإن sin(x) + 2 محصورة بين 1 و 3.
جميع القيم موجبة، لذلك |sin(x) + 2| = sin(x) + 2
نلاحظ أن الدالة sin(x) + 2 (الخط الأزرق) و |sin(x) + 2| (النقاط الحمراء) متطابقتان تماماً لأن الدالة موجبة دائماً
أمثلة محلولة
مثال 1: ارسم الدالة |x² - 9|
إذا كانت f(x) = x² - 9، ارسم الدالة |f(x)|
مثال 2: ارسم الدالة sin(|x|)
إذا كانت f(x) = sin(x)، ارسم الدالة f(|x|)
مثال 3: قارن بين |x³ - x| و (|x|)³ - |x|
وضح الفرق بين الدالتين برسمهما
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...