التوافيق ببساطة

التوافيق - مبادئ الاحتمالات التوافيق - مبادئ الاحتمالات

الأهداف

فهم مفهوم التوافيق في الاحتمالات
التمييز بين التوافيق والتباديل
تطبيق قانون التوافيق في حل المسائل
حساب عدد الطرق لاختيار مجموعة من مجموعة أكبر
استخدام التوافيق في مسائل الحياة الواقعية

تخيل أنك تريد اختيار 3 أصدقاء من مجموعة من 10 أصدقاء للذهاب في رحلة. هل يهمك ترتيب اختيارهم؟ بالطبع لا! المهم هو من سيذهب معك، وليس من اخترته أولاً أو ثانياً. هذا بالضبط ما تدرسه التوافيق - كيفية اختيار مجموعة من مجموعة أكبر عندما لا يهم الترتيب.

ما هي التوافيق؟

التعريف: التوافيق هي عدد الطرق لاختيار مجموعة صغيرة من مجموعة أكبر بدون الاهتمام بالترتيب.

💡 النقطة المهمة: في التوافيق، الترتيب غير مهم. اختيار (أحمد، سارة، محمد) هو نفسه اختيار (سارة، محمد، أحمد).

مثال توضيحي: دوري كرة القدم

🏆 دوري الفرق العربية

السعودية

مصر

الجزائر

العراق

الأردن

السؤال: إذا أردنا إقامة دوري بحيث كل فريقين يتقابلون مرة واحدة فقط، كم مباراة ستُلعب؟

جميع المباريات الممكنة:

قانون التوافيق

قانون التوافيق:

C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

حيث:
n = العدد الكلي للعناصر
r = عدد العناصر المختارة
! = العاملي (factorial)

تطبيق القانون على مثال الدوري:

• لدينا n = 5 فرق

• نختار r = 2 فريقين للمباراة

• نطبق القانون:

C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!}

= \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10

• إذن عدد المباريات = 10 مباريات

الفرق بين التوافيق والتباديل

الخاصية	التوافيق	التباديل
الترتيب	غير مهم ❌	مهم ✓
مثال	اختيار فريق من 3 لاعبين	ترتيب 3 لاعبين في مراكز مختلفة
القانون	\(C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)	\(P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

مثال تطبيقي: اختيار لجنة

المسألة: في صف من 12 طالباً، نريد اختيار لجنة من 4 طلاب. كم طريقة مختلفة يمكننا تكوين اللجنة؟

مثال من الحياة اليومية: اختيار الوجبات

المسألة: في مطعم يقدم 8 أنواع من السلطات، إذا أردت اختيار 3 أنواع مختلفة، كم خياراً لديك؟

متى نستخدم التوافيق؟

استخدم التوافيق عندما:

تختار مجموعة من مجموعة أكبر
لا يهم ترتيب الاختيار
لا يمكن تكرار الاختيار

🎯 تمرين للممارسة

في فريق كرة سلة من 15 لاعباً، يجب على المدرب اختيار 5 لاعبين للتشكيلة الأساسية. كم تشكيلة مختلفة يمكن للمدرب تكوينها؟

🎓 خلاصة الدرس:
التوافيق أداة قوية في الاحتمالات تساعدنا على حساب عدد الطرق لاختيار مجموعة عندما لا يهم الترتيب. تذكر دائماً: إذا كان الترتيب غير مهم، استخدم التوافيق!