مفهوم الدوال الدورية

الدوال الدورية الدوال الدورية

الأهداف

في هذا الدرس سنتعرف على:

  • مفهوم الدوال الدورية وخصائصها
  • كيفية تحديد دورة الدالة
  • أمثلة على الدوال الدورية المختلفة
  • العلاقة بين دائرة الوحدة والدوال المثلثية الدورية
ما هي الدوال الدورية؟
التعريف: الدوال الدورية هي الدوال التي تعيد نفسها بنفس النمط كل فترة زمنية محددة

بكل بساطة، الدوال الدورية هي التي تكرر نفسها. كلما تحركنا على المحور الأفقي، نجد أن الدالة تعيد نفس الشكل مرة ومرتين وثلاث... بحسب المجال.

ملاحظة مهمة:
• الفترة التي تأخذها الدالة من البداية حتى تعود إلى نفس النقطة نسميها "دورة"
• لذلك سُميت "دوال دورية" لأنها تكمل دورة ثم تعيدها
• يجب أن تكون مدة الدورة ثابتة (تعيد نفسها بنفس الوقت بالضبط)
الفرق بين الدوال الدورية والدائرية
تنبيه: الدوال الدورية ≠ الدوال الدائرية
• الدوال الدورية: دوال تكرر نفسها كل فترة محددة
• الدوال الدائرية: دوال مرتبطة بالدائرة (مثل sin, cos, tan)

معظم الدوال الدائرية هي دوال دورية، لكن ليس كل دالة دورية هي دالة دائرية!

أمثلة على الدوال الدورية

1. دالة الساين (sin)

من أشهر الدوال الدورية

الدورة = 2\pi أو 360°

2. دالة الكوساين (cos)

تشبه الساين لكن مزاحة

الدورة = 2\pi أو 360°

3. دالة المنشار

دالة خطية متكررة

الدورة حسب التعريف

4. الدالة المربعة

تتناوب بين قيمتين

الدورة حسب التعريف
دالة الساين بالتفصيل

دالة الساين تبدأ دورتها كالتالي:

  1. تبدأ من 0
  2. تصعد إلى 1 (عند 90°)
  3. تنزل إلى 0 (عند 180°)
  4. تنزل إلى -1 (عند 270°)
  5. ترجع إلى 0 (عند 360°)

دورة كاملة للساين

عندما ترجع الدالة إلى نفس نقطة البداية، تكون قد أكملت دورة كاملة

دورة الساين = 360° = 2\pi راديان
دالة الكوساين ودائرة الوحدة

لفهم دالة الكوساين بشكل أعمق، دعنا نستخدم دائرة الوحدة:

تفسير الكوساين من دائرة الوحدة:

الكوساين = الإحداثي الأفقي (x) للنقطة على دائرة الوحدة

  1. عند 0°: x = 1 (أقصى يمين)
  2. من 0° إلى 90°: x يتناقص من 1 إلى 0
  3. عند 90°: x = 0 (على المحور العمودي)
  4. من 90° إلى 180°: x يدخل المنطقة السالبة ويصل إلى -1
  5. عند 180°: x = -1 (أقصى يسار)
  6. من 180° إلى 270°: x يتزايد من -1 إلى 0
  7. عند 270°: x = 0 (على المحور العمودي السفلي)
  8. من 270° إلى 360°: x يتزايد من 0 إلى 1
  9. عند 360°: العودة إلى نقطة البداية x = 1

دورة كاملة للكوساين

دورة الكوساين = 360° = 2\pi راديان

الكوساين يعيد نفس النمط كل 2\pi إلى ما لا نهاية

خصائص الدوال الدورية

الشروط الأساسية للدالة الدورية:

  1. التكرار: تعيد نفس الشكل والنمط
  2. الدورة الثابتة: المدة بين التكرارات ثابتة
  3. الاستمرارية: تستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين
إذا كانت f(x) دالة دورية بدورة T، فإن:
f(x + T) = f(x) لجميع قيم x

مثال:

لدالة الساين: \sin(x + 2\pi) = \sin(x)

لدالة الكوساين: \cos(x + 2\pi) = \cos(x)

أمثلة أخرى على الدوال الدورية

1. دالة المنشار (Sawtooth Function):

  • تبدأ من 1
  • تنزل خطياً إلى -1
  • تقفز مباشرة إلى 1 (دورة كاملة)
  • تكرر نفس النمط

2. الموجة المربعة (Square Wave):

  • تتناوب بين قيمتين فقط (مثلاً 1 و -1)
  • تبقى ثابتة لنصف الدورة عند كل قيمة
  • تقفز فجأة للقيمة الأخرى

3. موجة المثلث (Triangle Wave):

  • تصعد خطياً من -1 إلى 1
  • تنزل خطياً من 1 إلى -1
  • تشكل شكل مثلث متكرر
القاعدة العامة:
مهما كان شكل الدالة، طالما هي تعيد نفسها بنفس النمط وبدورة ثابتة، فهي دالة دورية
مثال تفاعلي: استكشف الدوال الدورية
1
1
0

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
16
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...