العمليات الرياضية على اللوغاريتمات
في هذا الدرس سنتعلم خصائص اللوغاريتمات الأساسية وكيفية استخدامها في حل المعادلات والتبسيط.
قبل أن نبدأ، نتذكر أن $\log_2(4) = 2$ لأن $2^2 = 4$. الرقم على اليمين هو الأس والرقم تحت هو الأساس.
💡 مراجعة سريعة
$\log_3(9) = 2$ لأن $3^2 = 9$
السؤال: أي أس نرفع إليه الأساس 3 للحصول على 9؟ الإجابة: 2
1. خاصية المساواة (Equality Property)
إذا رأينا مساواة بين لوغاريتمين لمتغيرين لنفس الأساس، فمعناها أن المتغيرين يساوون بعض.
خاصية المساواة
مثال 1
$\log_5(x) = \log_5(8)$
الحل: $x = 8$
مثال 2
$\log_5(x + 4) = \log_5(y + 2)$
الحل: $x + 4 = y + 2$
2. خاصية الضرب (Product Property)
لوغاريتم حاصل الضرب يساوي مجموع اللوغاريتمات. عملية الضرب تتحول إلى جمع!
خاصية الضرب
⚠️ يجب أن يكون الأساس نفسه
مثال تطبيقي: $\log_2(5 \times 6)$
$\log_2(5 \times 6) = \log_2(5) + \log_2(6)$
نطبق خاصية الضرب لتحويل الضرب إلى جمع
تطبيق: $\log_2$(4) باستخدام خاصية الضرب
الخطوة 1: نحلل 4 = 2 × 2
الخطوة 2: $\log_2$(4) = $\log_2$(2 × 2)
الخطوة 3: $\log_2$(2 × 2) = $\log_2$(2) + $\log_2$(2)
الخطوة 4: $\log_2$(2) = 1، إذن النتيجة = 1 + 1 = 2
✓ التحقق: $\log_2$(4) = 2 مباشرة لأن 2^2 = 4
3. خاصية القسمة (Quotient Property)
نفس خاصية الضرب ولكن بدل الجمع نضع طرح. القسمة تتحول إلى طرح!
خاصية القسمة
🔗 الارتباط مع قوانين الأسس
الضرب في الأسس:
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
القسمة في الأسس:
$2^4 \div 2^3 = 2^{4-3} = 2^1$
هذا يذكرنا بحفظ خصائص الضرب والقسمة في اللوغاريتمات
4. خاصية القوة (Power Property)
إذا كان لدينا أس داخل اللوغاريتم، نستطيع إخراج هذا الأس وجعله معامل ضرب أمام اللوغاريتم.
خاصية القوة
مثال مفصل: $\log_2(4^4)$
طريقة 1: استخدام خاصية القوة
$\log_2(4^4) = 4 \times \log_2(4)$
$= 4 \times 2 = 8$
طريقة 2: الحل المباشر للتحقق
$4^4 = 256$
$\log_2(256) = ?$
نحتاج: $2^? = 256$
الإجابة: $2^8 = 256$، إذن النتيجة = 8 ✓
ملخص الخصائص
خاصية المساواة
$\log_a(x) = \log_a(y) \rightarrow x = y$
خاصية الضرب
$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
خاصية القسمة
$\log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)$
خاصية القوة
$\log_a(x^m) = m \times \log_a(x)$
💡 ملاحظة مهمة: جميع هذه الخصائص تعمل فقط عندما يكون الأساس نفسه في جميع اللوغاريتمات!