الدورة والسعة للدوال الدورية

التحويلات الهندسية للدوال المثلثية - السعة والدورة التحويلات الهندسية للدوال المثلثية - السعة والدورة

الأهداف

فهم تأثير ضرب الدالة في عدد على السعة
فهم تأثير ضرب المتغير في عدد على طول الدورة
تطبيق قانون السعة: |A| في الدالة A×sin θ
تطبيق قانون الدورة: 360°/|B| في الدالة sin(B×θ)
التمييز بين التسريع والتبطيء في الدوال المثلثية

في الدروس السابقة تعرفنا على الدوال المثلثية الأساسية وخصائصها الطبيعية - السعة = 1 والدورة = 360°. لكن ماذا لو أردنا تغيير هذه الخصائص؟ التحويلات الهندسية تمنحنا هذه القوة! يمكننا تكبير أو تصغير السعة، وتسريع أو تبطيء الدورة. دعونا نستكشف كيف تؤثر الأرقام الصغيرة على هذه الدوال الجميلة.

تغيير السعة (Amplitude)

📏 تأثير الضرب في عدد خارجي على السعة

y = A × sin θ أو y = A × cos θ
السعة = |A|

🎛️ تحكم تفاعلي في السعة

السعة (A): 1

جرب تغيير السعة لترى كيف تتمدد أو تنكمش الدالة عمودياً

sin θ

السعة = 1

من -1 إلى +1

4 × cos θ

السعة = 4

من -4 إلى +4

6 × sin θ

السعة = 6

من -6 إلى +6

مثال: حساب السعة

للدالة y = 4 × cos θ:

1️⃣ أعلى قيمة: 4

2️⃣ أقل قيمة: -4

3️⃣ الفرق: 4 - (-4) = 8

4️⃣ السعة: 8 ÷ 2 = 4

💡 أو ببساطة: السعة = |4| = 4

نأخذ القيمة المطلقة |A| لضمان أن السعة دائماً موجبة، حتى لو كان A سالباً

تغيير طول الدورة (Period)

🔄 تأثير الضرب في المتغير على طول الدورة

y = sin(B × θ) أو y = cos(B × θ)
طول الدورة = 360° ÷ |B|

⚡ تحكم تفاعلي في سرعة الدورة

معامل الدورة (B): 1

جرب تغيير معامل الدورة لترى كيف تتسارع أو تتباطأ الدالة

🧮 قانون طول الدورة:

إذا كان B > 1: الدالة تتسارع (دورة أقصر)

إذا كان 0 < B < 1: الدالة تتباطأ (دورة أطول)

طول الدورة الجديد = 360° ÷ |B|

أمثلة على تغيير الدورة

📊 مقارنة دورات مختلفة

قارن بين الدورات المختلفة

حسابات طول الدورة:

🔸 cos θ: طول الدورة = 360° ÷ 1 = 360°

🔸 cos(2θ): طول الدورة = 360° ÷ 2 = 180°

🔸 cos(θ/2): طول الدورة = 360° ÷ 0.5 = 720°

🔸 cos(3θ): طول الدورة = 360° ÷ 3 = 120°

التحويلات المركبة

🎯 الجمع بين تغيير السعة والدورة

y = A × sin(B × θ)
السعة = |A| • طول الدورة = 360° ÷ |B|

🎪 استوديو التحويلات المركبة

السعة (A): 1

معامل الدورة (B): 1

جرب تركيبات مختلفة من السعة والدورة

يمكن تطبيق التحويلات على أي دالة مثلثية: sin، cos، tan

مثال شامل: y = 3 × sin(2θ)

🔍 تحليل تفصيلي للدالة

شاهد كيف تؤثر كل تحويلة على الدالة

تحليل الدالة y = 3 × sin(2θ):

🎯 السعة: |3| = 3 (تتراوح من -3 إلى +3)

⚡ طول الدورة: 360° ÷ 2 = 180° (تكرار أسرع)

📈 التأثير: دالة أعلى وأسرع من الأصلية

🔄 عدد الدورات في 360°: 360° ÷ 180° = 2 دورة

🎓 الخلاصة النهائية:
• السعة: العدد المضروب خارج الدالة A في y = A×sin θ
• طول الدورة: 360° ÷ |B| حيث B هو العدد المضروب في θ
• B > 1: تسريع الدالة (دورة أقصر)
• 0 < B < 1: تبطيء الدالة (دورة أطول)
• التحويلات المركبة: يمكن تطبيق السعة والدورة معاً
• القيمة المطلقة: نأخذها دائماً لضمان قيم موجبة للسعة وطول الدورة