معدل التغيير و التفاضل و الاشتقاق

الحل:
نحسب $f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$
نحسب $f(0) = -(0)^3 + 3(0) = 0$

متوسط معدل التغير = $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{2 - 0}{1} = 2$

التفسير: الدالة تزداد بمعدل 2 وحدة لكل وحدة في x بين 0 و 1.

الحل:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x)$
$f'(x) = -3x^2 + 3$

التفسير: هذه المشتقة تعطينا معدل التغير اللحظي عند أي نقطة x.

الحل:
نضع المشتقة = 0
$f'(x) = -3x^2 + 3 = 0$
$-3x^2 = -3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$

عند $x = 1$: $f(1) = 2$ (قمة محلية)
عند $x = -1$: $f(-1) = -2$ (قاع محلي)

التفسير: الدالة لها قمة عند (1, 2) وقاع عند (-1, -2).

الحل:
نستخدم المشتقة: $f'(x) = -3x^2 + 3$
عند $x = 1$: $f'(1) = -3(1)^2 + 3 = -3 + 3 = 0$

التفسير: معدل التغير اللحظي = 0 يعني أننا عند قمة محلية.