التمدد الرأسي والأفقي للدوال التمدد الرأسي والأفقي للدوال

التمدد الرأسي والأفقي للدوال

التمدد هو تحويل غير قياسي يؤدي إلى تضييق (ضغط) أو توسع (سحب) منحنى الدالة رأسياً أو أفقياً.

مفهوم أساسي

التمدد الرأسي

$$g(x) = a \cdot f(x)$$

إذا كان $a$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن منحنى الدالة:

• توسع رأسي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $a > 1$

• تضييق رأسي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $0 < a < 1$

التمدد الأفقي

$$g(x) = f(ax)$$

إذا كان $a$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن منحنى الدالة:

• تضييق أفقي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $a > 1$

• توسع أفقي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $0 < a < 1$

ملاحظة مهمة: في التمدد الأفقي، العلاقة عكسية! عندما $a > 1$ يحدث تضييق، وعندما $0 < a < 1$ يحدث توسع.

فهم تأثير التمدد على الأبعاد:

التمدد الرأسي

يتغير: الارتفاع (المحور الصادي)

يبقى ثابتاً: العرض على المحور السيني

النقاط تتحرك عمودياً أعلى أو أسفل، لكن مواضعها الأفقية تبقى كما هي

التمدد الأفقي

يتغير: العرض (المحور السيني)

يبقى ثابتاً: الارتفاع على المحور الصادي

النقاط تتحرك أفقياً يميناً أو يساراً، لكن ارتفاعاتها تبقى كما هي

تفسير سلوك التمدد:

التمدد الأفقي: "السرعة الزمنية"

عندما نضرب $x$ في عدد أكبر من 1 في $f(ax)$، فكأننا نسأل:

"ماذا سيحدث للدالة إذا تحرك المتغير $x$ أسرع من المعتاد؟"

النتيجة: الدالة تكتمل في مسافة أقل (تضييق أفقي)

مثال: $\sin(2x)$ تكمل دورة كاملة في $\pi$ بدلاً من $2\pi$

التمدد الرأسي: "تضخيم الاستجابة"

عندما نضرب الدالة في عدد أكبر من 1 في $af(x)$، فكأننا نسأل:

"ماذا لو كانت استجابة الدالة أقوى/أضعف من المعتاد؟"

النتيجة: كل قيمة تُضرب في المعامل (تضخيم أو تقليل الاستجابة)

مثال: $3\sin(x)$ تتراوح بين -3 و +3 بدلاً من -1 و +1

التمدد الرأسي

القاعدة الأساسية:

$$g(x) = a \cdot f(x)$$

حيث $a$ هو معامل التمدد الرأسي

الرسم البياني للتمدد الرأسي

معامل التمدد الرأسي (a):

القيمة: 1.0

مثال: التمدد الرأسي للدالة التربيعية

الدالة الأصلية:

$f(x) = x^2$

توسع رأسي بمعامل 3:

$g(x) = 3x^2$

كل نقطة على المنحنى تبتعد عن المحور السيني بمقدار 3 أضعاف

تضييق رأسي بمعامل 0.5:

$h(x) = 0.5x^2$

كل نقطة على المنحنى تقترب من المحور السيني إلى النصف

التمدد الأفقي

القاعدة الأساسية:

$$g(x) = f(ax)$$

حيث $a$ هو معامل التمدد الأفقي

الرسم البياني للتمدد الأفقي

معامل التمدد الأفقي (a):

القيمة: 1.0

مثال: التمدد الأفقي لدالة الجيب

الدالة الأصلية:

f(x) = \sin(x)

تضييق أفقي بمعامل 2:

g(x) = \sin(2x)

الدورة تكتمل في نصف المسافة الأصلية

توسع أفقي بمعامل 0.5:

h(x) = \sin(0.5x)

الدورة تحتاج إلى ضعف المسافة الأصلية

التمدد الرأسي والأفقي معاً

الصورة العامة:

$$g(x) = A \cdot f(Bx)$$

حيث $A$ معامل التمدد الرأسي و $B$ معامل التمدد الأفقي

التمدد المجتمع

التمدد الرأسي (A):

القيمة: 1.0

التمدد الأفقي (B):

القيمة: 1.0

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: دالة الجيب

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن تطبيق توسع رأسي بمعامل 3 وتضييق أفقي بمعامل 2 على $f(x) = \sin(x)$

الحل:

الدالة الأصلية: $f(x) = \sin(x)$

تطبيق التوسع الرأسي (A = 3):

g(x) = 3\sin(x)

تطبيق التضييق الأفقي (B = 2):

g(x) = 3\sin(2x)

الإجابة النهائية:

g(x) = 3\sin(2x)

المدى: [-3, 3]، الدورة: $\pi$ بدلاً من $2\pi$

المثال الثاني: دالة الجذر التربيعي

المطلوب: حدد نوع التمدد في الدالة $g(x) = 0.5\sqrt{3x}$ بالمقارنة مع $f(x) = \sqrt{x}$

التحليل:

g(x) = 0.5\sqrt{3x} = 0.5 \cdot f(3x)

تحليل التمدد الرأسي:

$A = 0.5 < 1$

تضييق رأسي بمعامل 0.5

تحليل التمدد الأفقي:

$B = 3 > 1$

تضييق أفقي بمعامل 3

الإجابة:

تضييق رأسي بمعامل 0.5
تضييق أفقي بمعامل 3

المثال الثالث: دالة القيمة المطلقة

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن توسع رأسي بمعامل 2.5 وتوسع أفقي بمعامل 3 لدالة $f(x) = |x|$

فهم المطلوب:

توسع رأسي بمعامل 2.5 → $A = 2.5$
توسع أفقي بمعامل 3 → $B = \frac{1}{3}$ (لأن العلاقة عكسية)

تطبيق القاعدة:

g(x) = A \cdot f(B \cdot x) = 2.5 \cdot |\frac{1}{3}x|

الإجابة النهائية:

g(x) = 2.5|x/3|$ أو $g(x) = \frac{2.5|x|}{3}

المثال الرابع: الدالة التربيعية

المطلوب: إذا كانت $g(x) = 4(0.5x)^2$، حدد التحويلات المطبقة على $f(x) = x^2$

إعادة كتابة الدالة:

g(x) = 4(0.5x)^2 = 4 \cdot 0.25x^2 = x^2

g(x) = 4 \cdot f(0.5x)

تحليل التمدد الرأسي:

$A = 4 > 1$

توسع رأسي بمعامل 4

تحليل التمدد الأفقي:

$B = 0.5 < 1$

توسع أفقي بمعامل 2 (العكس من 0.5)

الإجابة:

توسع رأسي بمعامل 4
توسع أفقي بمعامل 2

ملاحظة: النتيجة النهائية هي $g(x) = x^2$، نفس الدالة الأصلية!

ملخص التمدد والتضييق للدوال

التمدد الرأسي: $g(x) = a \cdot f(x)$ حيث $a > 1$ توسع و $0 < a < 1$ تضييق
التمدد الأفقي: $g(x) = f(ax)$ حيث $a > 1$ تضييق و $0 < a < 1$ توسع
التمدد المجتمع: $g(x) = A \cdot f(Bx)$ يجمع بين النوعين
نقطة مهمة: التمدد الأفقي له علاقة عكسية مع المعامل
تأثير على الخصائص: يغير المدى (رأسي) والدورة (أفقي)

التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال

التمدد الرأسي والأفقي للدوال

مفهوم أساسي

التمدد الرأسي

التمدد الأفقي

فهم تأثير التمدد على الأبعاد:

التمدد الرأسي

التمدد الأفقي

تفسير سلوك التمدد:

التمدد الأفقي: "السرعة الزمنية"

التمدد الرأسي: "تضخيم الاستجابة"

التمدد الرأسي

القاعدة الأساسية:

الرسم البياني للتمدد الرأسي

مثال: التمدد الرأسي للدالة التربيعية

التمدد الأفقي

القاعدة الأساسية:

الرسم البياني للتمدد الأفقي

مثال: التمدد الأفقي لدالة الجيب

التمدد الرأسي والأفقي معاً

الصورة العامة:

التمدد المجتمع

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: دالة الجيب

المثال الثاني: دالة الجذر التربيعي

المثال الثالث: دالة القيمة المطلقة

المثال الرابع: الدالة التربيعية

ملخص التمدد والتضييق للدوال

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات