الدوال المثلثية والزوايا المرجعية

الدوال المثلثية والزوايا المرجعية الدوال المثلثية والزوايا المرجعية

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

  • فهم كيف تم توسيع تعريف الدوال المثلثية خارج نطاق المثلث القائم
  • تحديد الزاوية المرجعية لأي زاوية في أي ربع
  • حساب قيم الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90°
  • فهم اتجاهات المثلثات في الأرباع المختلفة
المشكلة: محدودية المثلث القائم

في البداية، تعلمنا الدوال المثلثية من خلال المثلث القائم:

\sin θ = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}     \cos θ = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}

المشكلة: المثلث القائم محصور في نطاق ضيق:

  • الزوايا الحادة فقط: من 0° إلى 90°
  • إذا تعدت الزاوية 90°، فقد المثلث شكله الهندسي
  • لكن الحاسبة تعطي قيماً لـ \cos(120°) أو \sin(300°) أو حتى \cos(100000°)!
السؤال: كيف نتكلم عن زوايا أعلى من مجموع زوايا المثلث (180°)؟
الجواب: نوسع المفهوم باستخدام اتجاهات المثلثات في الأرباع المختلفة!
الحل: اتجاهات المثلثات في الأرباع

الفكرة بسيطة: نضع المثلث في اتجاهات مختلفة حسب موقع الزاوية:

الربع الأول (0° - 90°)

المثلث في وضعه الطبيعي

الزاوية المرجعية = θ

الربع الثاني (90° - 180°)

المثلث يميل لليسار

الزاوية المرجعية = 180° - θ

الربع الثالث (180° - 270°)

المثلث مقلوب

الزاوية المرجعية = θ - 180°

الربع الرابع (270° - 360°)

المثلث يميل لليمين

الزاوية المرجعية = 360° - θ

استكشف الزوايا المرجعية تفاعلياً
60°
الربع: الأول | الزاوية المرجعية: 60° | sin(60°) = 0.866 | cos(60°) = 0.500
تعريف الزاوية المرجعية

الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة المحصورة بين الضلع النهائي للزاوية ومحور x.

الربع نطاق الزاوية الزاوية المرجعية مثال
الأول 0° - 90° θ للزاوية 60°: المرجعية = 60°
الثاني 90° - 180° 180° - θ للزاوية 120°: المرجعية = 180° - 120° = 60°
الثالث 180° - 270° θ - 180° للزاوية 240°: المرجعية = 240° - 180° = 60°
الرابع 270° - 360° 360° - θ للزاوية 300°: المرجعية = 360° - 300° = 60°
كيف نحسب قيم الدوال المثلثية؟

لحساب قيمة أي دالة مثلثية لزاوية في أي ربع:

الخطوات:
  1. حدد الربع الذي تقع فيه الزاوية
  2. احسب الزاوية المرجعية
  3. احسب قيمة الدالة للزاوية المرجعية
  4. حدد الإشارة (موجب/سالب) حسب الربع
مثال: احسب \sin(150°)
  1. 150° تقع في الربع الثاني
  2. الزاوية المرجعية = 180° - 150° = 30°
  3. \sin(30°) = 0.5
  4. في الربع الثاني، الجيب موجب
  5. إذن: \sin(150°) = +0.5
قاعدة الإشارات:
  • الربع الأول: جميع الدوال موجبة
  • الربع الثاني: الجيب موجب، جيب التمام سالب
  • الربع الثالث: الظل موجب، الجيب وجيب التمام سالبان
  • الربع الرابع: جيب التمام موجب، الجيب سالب
لماذا هذه الطريقة منطقية؟

هذا التوسع منطقي لأن:

  • الاستمرارية: الدوال المثلثية تصبح مستمرة على كل الأرقام الحقيقية
  • التطبيقات: نحتاج لزوايا أكبر من 90° في الفيزياء والهندسة
  • الدورية: الدوال تتكرر كل 360°، مما يجعل الحسابات منطقية
  • التماثل: كل زاوية لها زوايا مكافئة في الأرباع الأخرى

الخلاصة: بدلاً من الاقتصار على المثلث القائم، نفكر في "اتجاهات المثلثات" المختلفة، مما يسمح لنا بتعريف الدوال المثلثية لأي زاوية!

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
18
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...