دالة الكوسيكانت

دالة الكوسيكانت والدوال المثلثية المقلوبة دالة الكوسيكانت والدوال المثلثية المقلوبة

الأهداف

التعرف على الدوال المثلثية المقلوبة (الكوسيكانت، السيكانت، الكوتانجنت)
فهم العلاقة بين هذه الدوال والدوال المثلثية الأساسية
دراسة الرسم البياني لدالة الكوسيكانت
تحديد المجال والمدى وطول الدورة
التعرف على نقاط عدم الاستمرارية والخطوط المقاربة

في هذا الدرس سنتعرف على ثلاث دوال مثلثية مهمة مرتبطة بالدوال الأساسية (sin، cos، tan). هذه الدوال هي عبارة عن معكوسات الدوال الأساسية، أي أنها تساوي واحد مقسوماً على الدالة الأصلية.

الدوال المثلثية المقلوبة

الكوسيكانت:      \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\)

السيكانت:      \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\)

الكوتانجنت:      \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\)

عندما نقسم على صفر، تذهب القيمة إلى ما لا نهاية، وهذا يخلق خطوطاً مقاربة في الرسم البياني

دالة الكوسيكانت (Cosecant Function)

🎯 الرسم البياني لدالة الكوسيكانت مع دالة الجيب

الزاوية: 0° | sin = 0 | csc = غير معرف

خصائص دالة الكوسيكانت

🎯 المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا

x = n\pi

حيث

n

عدد صحيح
أي عدا: {..., -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ...}

📊 المدى: \((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\)
جميع القيم الحقيقية أكبر من أو تساوي 1، أو أقل من أو تساوي -1

🔄 طول الدورة: 360° أو

2\pi

راديان
الدالة تكرر نفسها كل 360 درجة

📍 نقاط التماس:

عند sin(x) = 1: يكون csc(x) = 1 (النقاط: 90°, 450°, ...)
عند sin(x) = -1: يكون csc(x) = -1 (النقاط: 270°, 630°, ...)

⚡ الخطوط المقاربة العمودية: عند كل نقطة يكون فيها sin(x) = 0

ملاحظات مهمة

1. شكل المنحنى: يتكون من فروع منفصلة، كل فرع يفتح إما لأعلى أو لأسفل:

من 0° إلى 180°: يفتح لأعلى (موجب)
من 180° إلى 360°: يفتح لأسفل (سالب)
ثم يتكرر النمط

2. العلاقة مع دالة الجيب:

كلما اقتربت sin(x) من الصفر، تذهب csc(x) إلى ±∞
عندما تصل sin(x) إلى قيمتها العظمى (1) أو الصغرى (-1)، تتساوى csc(x) معها

مقارنة الدوال المثلثية المقلوبة

الخاصية	الكوسيكانت csc(x)	السيكانت sec(x)	الكوتانجنت cot(x)
التعريف	\(\frac{1}{\sin(x)}\)	\(\frac{1}{\cos(x)}\)	\(\frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)
طول الدورة	360° = 2π	360° = 2π	180° = π
المدى	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)	(-∞, ∞)
خطوط مقاربة عند	sin(x) = 0	cos(x) = 0	sin(x) = 0

🎨 رسم جميع الدوال المثلثية المقلوبة

🎓 خلاصة الدرس:
• الدوال المثلثية المقلوبة هي معكوسات الدوال الأساسية
• دالة الكوسيكانت تمثل مقلوب دالة الجيب
• تحتوي هذه الدوال على خطوط مقاربة عند الأصفار
• مدى الكوسيكانت والسيكانت محدود خارج الفترة [-1, 1]
• دورة الكوتانجنت نصف دورة الكوسيكانت والسيكانت