تحضير مفهوم الدالة اللوغارتمية

الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية، وفهمها يتطلب إدراك الفرق الأساسي بين البحث عن النتيجة والبحث عن الأس.

عندما نرسم الدالتين معاً، نلاحظ أنهما يتناظران حول الخط y = x، مما يؤكد علاقة المعكوس بينهما.

جاري تحميل LogarithmicFunctionSimulator...

1. العلاقة مع الدالة الأسية

الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية تماماً. هذا يعني أن كل ما ينطبق على إحداهما ينعكس على الأخرى.

مثال: في الدالة الأسية نعرف الأس ونبحث عن النتيجة، أما في اللوغاريتمية فنعرف النتيجة ونبحث عن الأس

الدالة الأسية

نعرف الأس، نبحث عن النتيجة

$f(x) = b^x$

مثال: $3^2 = ?$

الدالة اللوغاريتمية

نعرف النتيجة، نبحث عن الأس

$f(x) = \log_b(x)$

مثال: $\log_3(9) = ?$

2. نقاط التقاطع المميزة

تتميز كل دالة بنقطة تقاطع ثابتة مع المحاور، وهذا التقاطع له سبب رياضي منطقي.

الدالة الأسية

تتقاطع مع محور Y عند النقطة (0, 1)

$b^0 = 1$

أي عدد مرفوع للأس صفر = 1

الدالة اللوغاريتمية

تتقاطع مع محور X عند النقطة (1, 0)

$\log_b(1) = 0$

لوغاريتم الواحد لأي أساس = صفر

سبب التقاطع: في الدالة الأسية X في الأس فأي عدد أس صفر = 1. في اللوغاريتمية X هي النتيجة، فعندما النتيجة = 1، الأس = صفر

3. تأثير قيمة الأساس

سلوك الدالة اللوغاريتمية يختلف باختلاف قيمة الأساس، تماماً كما يحدث في الدالة الأسية، لكن بشكل معكوس.

الأساس > 1

الدالة متزايدة

$\log_2(x)$

0 < الأساس < 1

الدالة متناقصة

$\log_{0.5}(x)$

قيود الأساس

الأساس ≠ 1 والأساس > 0

4. الفرق الجوهري: النتيجة مقابل الأس

هذا هو الفرق الأساسي والأهم بين الدالتين. في الدالة الأسية نسأل عن النتيجة، أما في اللوغاريتمية فنسأل عن الأس.

مثال توضيحي: الأساس = 3

$3^2 = 9 \leftrightarrow \log_3(9) = 2$

العملية الذهنية

  • الدالة الأسية: "3 مرفوع للأس 2 يعطي كم؟"
  • الدالة اللوغاريتمية: "كم الأس الذي يجعل 3 تصبح 9؟"
  • كلاهما يؤدي لنفس النتيجة، لكن بطريقة تفكير مختلفة

هذا الفرق يفسر لماذا اللوغاريتمية بطيئة النمو

5. سبب البطء في نمو الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية تنمو ببطء شديد مقارنة بالدالة الأسية، وهذا له سبب رياضي واضح.

سبب البطء: تركيزنا على الأس وليس على النتيجة. بينما النتيجة تنمو بسرعة هائلة، الأس ينمو ببطء شديد

مثال: النتيجة تضاعفت من 2 إلى 1024، لكن الأس نما من 1 إلى 10 فقط!

مقارنة النمو: الأساس = 2

مقارنة بين الدالتين:

$2^1 = 2$ ← $\log_2(2) = 1$

$2^2 = 4$ ← $\log_2(4) = 2$

$2^3 = 8$ ← $\log_2(8) = 3$

$2^{10} = 1024$ ← $\log_2(1024) = 10$

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
0
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...