احتمال حادثتين غير مستقلتين
الحوادث غير المستقلة - الاحتمال المشروط
مقدمة الدرس
في الدرس السابق تكلمنا عن قانون احتمال حادثتين مستقلتين.
الآن راح نتكلم عن حادثتين غير مستقلتين.
يعني حدوث الأول راح يأثر على الثاني.
مقدمة: الفرق بين المستقلة وغير المستقلة
الحوادث المستقلة vs غير المستقلة
الحوادث المستقلة: حدوث الحدث الأول لا يؤثر على احتمالية حدوث الثاني (نرجع الكورة)
الحوادث غير المستقلة: حدوث الحدث الأول يؤثر على احتمالية حدوث الثاني (لا نرجع الكورة)
المثال التوضيحي: الصندوق والكور
فإذا رحنا لمثال الصندوق اللي فيه كورة خضرى وصفرى وحمرى،
فإذا سحبنا كورة في التجربة الأولى ما راح نرجعها.
في التجربة الثانية راح نسحب كورة ثانية.
أخضر
أصفر
أحمر
التمثيل البصري للسحب بدون إرجاع
السؤال والحل المفصل
فالسؤال راح يكون ما هو احتمالية أنه نطلع بالسحبة الأولى بكورة صفرى، فالسحبة الثانية كورة خضرى من غير ما نرجع الكورة الأولى.
المسألة: احتمال سحب صفراء ثم خضراء (بدون إرجاع)
السؤال: ما احتمالية سحب كورة صفراء في السحبة الأولى، ثم كورة خضراء في السحبة الثانية بدون إرجاع الكورة الأولى؟
قانون الاحتمال المشروط
حيث P(B|A) تعني احتمالية حدوث B بشرط حدوث A
فهذا هو القانون قدامنا، نطلع احتمالية الحدث الأول.
الخطوة الأولى: احتمالية سحب الكورة الصفراء
اللي هو سحب الكورة الصفرى ونسميه A ويسوي 1 على 3.
احتمال(صفراء أولاً) = P(A) = 1/3
لأن لدينا 3 كور (أخضر، أصفر، أحمر) والكورة الصفراء واحدة منهم
الخطوة الثانية: احتمالية سحب الكورة الخضراء بشرط سحب الصفراء
بعدين نضرب فيه الرمز هذا، اللي هو احتمالية حدوث الحدث الثاني إذا علمنا أن الحدث الأول صار. فكأننا نقول ما هو احتمالية حدوث B إذا علمنا أن الحدث A صار.
يعني طلعنا الكورة الصفرى. ما هي احتمالية أنه نسحب الخضرى؟ يصير عندنا كورتين، فراح يكون 1 على 2.
احتمال(خضراء ثانياً | صفراء أولاً) = P(B|A) = 1/2
لأن بعد سحب الكورة الصفراء، تبقى كورتين فقط (أخضر وأحمر)
الحل النهائي:
فالقانون يقول الناتج عبارة عن احتمالية سحب الكورة الصفرى، اللي هو 1 على 3، نضربها في احتمالية سحب الكورة الخضرى إذا الصفرى انسحبت.
احتمال(صفراء ثم خضراء) = P(A) × P(B|A) = 1/3 × 1/2
فالناتج راح يكون 1 على 3 ضرب 1 على 2، اللي راح يصير 1 على 6.
النتيجة النهائية: احتمالية سحب كورة صفراء ثم خضراء (بدون إرجاع) = 1/6
أمثلة إضافية للفهم
مثال (2): مقارنة مع الحوادث المستقلة
السؤال: لو كنا نرجع الكورة الأولى، ما كانت راح تكون الإجابة؟
الحل (مع الإرجاع - حوادث مستقلة):
احتمال(صفراء ثم خضراء) = 1/3 × 1/3 = 1/9
لأن عدد الكور يبقى 3 في كلا السحبتين
الملاحظة: الاحتمال مع الإرجاع (1/9) أقل من الاحتمال بدون إرجاع (1/6) في هذه الحالة
مثال (3): حالة أخرى
السؤال: ما احتمالية سحب كورة خضراء ثم كورة خضراء أخرى (بدون إرجاع)؟
الحل:
P(خضراء أولاً) × P(خضراء ثانياً | خضراء أولاً) = 1/3 × 0 = 0
لأنه لا توجد إلا كورة خضراء واحدة، فمن المستحيل سحب خضراء مرتين
النتيجة: الاحتمالية = 0 (حدث مستحيل)
جدول المقارنة: مع وبدون إرجاع
| العنصر | مع الإرجاع (مستقلة) | بدون إرجاع (غير مستقلة) |
|---|---|---|
| عدد الكور في السحبة الثانية | نفس العدد الأصلي | ينقص بواحد |
| تأثير السحبة الأولى | لا تؤثر | تؤثر على الاحتمالات |
| القانون المستخدم | P(A) × P(B) | P(A) × P(B|A) |
| مثال: صفراء ثم خضراء | 1/3 × 1/3 = 1/9 | 1/3 × 1/2 = 1/6 |
خلاصة الدرس
- الحوادث غير المستقلة: حدوث الأول يؤثر على احتمالية الثاني
- قانون الاحتمال المشروط: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
- العدد يتغير: في السحب بدون إرجاع، عدد العناصر المتاحة ينقص
- الفرق مهم: النتائج تختلف بين السحب مع وبدون إرجاع
- التطبيق: مفيد في مسائل التوزيع والاختيار من مجموعات محدودة
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...