دالة الكوتان

دالة الكوتان دالة الكوتان

الأهداف

فهم دالة الكوتان كمعكوس لدالة التان
دراسة الرسم البياني لدالة الكوتان
التعرف على مجال ومدى دالة الكوتان
فهم العلاقة بين دالة التان ودالة الكوتان
تحديد نقاط عدم الاستمرارية والخطوط المقاربة

في هذا الدرس سنتعرف على دالة الكوتان، وهي إحدى الدوال المثلثية المقلوبة. دالة الكوتان هي معكوس دالة التان، أي أنها تساوي واحد مقسوماً على التان. سنرى كيف أن هذه العلاقة تؤثر على شكل الرسم البياني وخصائص الدالة.

تعريف دالة الكوتان

دالة الكوتان: $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

بما أن الكوتان هي معكوس التان، فإن النقاط التي تساوي فيها التان صفراً، تذهب فيها الكوتان إلى ما لا نهاية

الرسم البياني لدالة الكوتان

🎯 رسم دالة الكوتان مع دالة التان

الزاوية: 0° | tan = 0 | cot = غير معرف

خصائص دالة الكوتان

🎯 المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا

x = n\pi

حيث

n

عدد صحيح
أي عدا: {..., -180°, 0°, 180°, 360°, ...}

📊 المدى: جميع الأعداد الحقيقية $(-\infty, +\infty)$
الدالة يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية

🔄 طول الدورة: 180° أو

\pi

راديان
الدالة تكرر نفسها كل 180 درجة (نفس طول دورة التان)

📍 الأصفار: عند

x = 90° + n \cdot 180°

حيث tan(x) = ∞ فإن cot(x) = 0

⚡ الخطوط المقاربة العمودية: عند كل نقطة يكون فيها sin(x) = 0
أي عند

x = n\pi

أو

n \cdot 180°

العلاقة بين التان والكوتان

1️⃣ عندما tan(x) = 0، فإن cot(x) = 1/0 = ±∞ (غير معرف)

2️⃣ عندما tan(x) = ±∞، فإن cot(x) = 1/∞ = 0

3️⃣ عندما tan(x) = 1 (عند 45°)، فإن cot(x) = 1/1 = 1

4️⃣ عندما tan(x) = -1 (عند 135°)، فإن cot(x) = 1/(-1) = -1

مقارنة بين مجالات الدوال

الدالة	نقاط عدم التعريف	السبب	مثال
tan(x)	$x = 90° + n \cdot 180°$	cos(x) = 0	غير معرفة عند 90°, 270°, ...
cot(x)	$x = n \cdot 180°$	sin(x) = 0	غير معرفة عند 0°, 180°, 360°, ...

🎨 استكشف سلوك دالة الكوتان

🎓 ملاحظات مهمة:
• دالة الكوتان معرّفة عند 90° (بعكس التان) وتساوي صفر
• المجال يستثني النقاط التي فيها sin(x) = 0
• الدالة تتناقص في كل فترة من فتراتها
• لا توجد سعة محددة للدالة لأنها تذهب إلى ±∞
• دورة الكوتان نصف دورة الجيب والكوجيب

مثال تطبيقي

احسب قيمة cot(45°)

الحل:

1️⃣ نحسب tan(45°) = 1

2️⃣ cot(45°) = 1/tan(45°) = 1/1 = 1

3️⃣ أو يمكن حسابها: cot(45°) = cos(45°)/sin(45°) =

\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}

= 1