المُسَلَّمات و البراهين الحرة
اختبر فهمك
ما هي المُسَلَّمة؟
ما الحد الأدنى لعدد النقاط التي يحتاجها المستوى ليكون محددًا بشكل فريد؟
أي مما يلي مثال على مُسَلَّمة من الحياة اليومية؟
إذا تقاطع مستقيمان، فإنهما يتقاطعان في:
إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم المار بهما:
في البرهان الحر، ما أول خطوة يجب القيام بها؟
إذا كانت M نقطة منتصف 
و 
سم، فما قيمة 
؟
ما هو تقاطع مستويين؟
الشرح
أهداف الدرس
- التعرف على مفهوم المسلمة وأهميتها في الرياضيات
- فهم المسلمات الأساسية للنقاط والمستقيمات والمستويات
- تعلم كيفية استخدام المسلمات في كتابة البراهين
- التمييز بين التبرير الاستقرائي والاستنتاجي في البراهين
ما هي المسلمة؟
المسلمة هي معلومة أو عبارة تعطي وصفًا لعلاقة أساسية بين مفاهيم هندسية، نأخذها على أنها صحيحة بدون برهان.
ملاحظة: المسلمات واضحة وبديهية لدرجة أن الجميع يتفق على صحتها دون الحاجة إلى إثبات.
أمثلة من الحياة اليومية:
• الشخص لا يمكن أن يكون في مكانين في نفس اللحظة
• أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم
• الشخص لا يمكن أن يكون في مكانين في نفس اللحظة
• أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم
المسلمات الأساسية في الهندسة
1
مسلمة النقطتين والمستقيم
أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط
2
مسلمة الثلاث نقاط والمستوى
أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط
3
مسلمة نقاط المستقيم
كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل
4
مسلمة نقاط المستوى
كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة
5
مسلمة المستقيم والمستوى
إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى
6
مسلمة تقاطع المستقيمين
إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط
7
مسلمة تقاطع المستويين
إذا تقاطع مستويان فتقاطعهما يكون مستقيمًا
أهمية المسلمات
نستخدم المسلمات للوصول إلى برهان، وعن طريقها ننتقل من التخمين إلى النظرية
خطوات كتابة البرهان
1
كتابة المعطيات
نبدأ بتحديد وكتابة جميع المعلومات المعطاة في المسألة بشكل واضح ومنظم
2
كتابة المطلوب إثباته
نحدد العبارة أو التخمين الذي نريد إثباته بوضوح
3
استخدام التبرير الاستنتاجي
نطبق الحالات العامة على الحالات الخاصة باستخدام المنطق الرياضي
4
تطبيق التعريفات والمسلمات
نستخدم التعريفات والمسلمات المعروفة في الرياضيات للوصول إلى النتائج
5
الوصول إلى النتيجة
نصل إلى إثبات التخمين وتحويله إلى نظرية مثبتة علميًا
أمثلة محلولة
مثال 1: استخدام مسلمة النقطتين والمستقيم
1
إذا كانت النقطتان A و B مختلفتان، فكم مستقيم يمر بهما؟
الحل:
بحسب مسلمة النقطتين والمستقيم:
"أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط"
إذن: يمر بالنقطتين A و B مستقيم واحد فقط.
بحسب مسلمة النقطتين والمستقيم:
"أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط"
إذن: يمر بالنقطتين A و B مستقيم واحد فقط.
مثال 2: استخدام مسلمة تقاطع المستقيمين
2
إذا تقاطع المستقيمان ℓ و m، فكم نقطة تقاطع بينهما؟
الحل:
بحسب مسلمة تقاطع المستقيمين:
"إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط"
إذن: المستقيمان ℓ و m يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
بحسب مسلمة تقاطع المستقيمين:
"إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط"
إذن: المستقيمان ℓ و m يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
مثال 3: برهان باستخدام المسلمات
3
أثبت أن: ثلاث نقاط A، B، C غير واقعة على استقامة واحدة تحدد مستوى واحد فقط
البرهان:
المعطيات: النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة
المطلوب: إثبات أن هذه النقاط تحدد مستوى واحد فقط
الخطوات:
1. بما أن النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة (معطى)
2. وبحسب مسلمة الثلاث نقاط والمستوى:
"أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط"
3. إذن: النقاط A، B، C تحدد مستوى واحد فقط ✓
المعطيات: النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة
المطلوب: إثبات أن هذه النقاط تحدد مستوى واحد فقط
الخطوات:
1. بما أن النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة (معطى)
2. وبحسب مسلمة الثلاث نقاط والمستوى:
"أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط"
3. إذن: النقاط A، B، C تحدد مستوى واحد فقط ✓
مثال 4: تطبيق متعدد للمسلمات
4
إذا كان المستقيم AB يقع في المستوى P، والنقطة C تقع في المستوى P ولا تقع على المستقيم AB،
فأثبت أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
البرهان:
المعطيات:
• المستقيم AB يقع في المستوى P
• النقطة C في المستوى P
• النقطة C لا تقع على المستقيم AB
المطلوب: إثبات أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
الخطوات:
1. بما أن المستقيم AB يقع في المستوى P، فإن النقطتين A و B تقعان في المستوى P
2. النقطة C تقع في المستوى P (معطى)
3. إذن النقطتان A و C تقعان في المستوى P
4. بحسب مسلمة المستقيم والمستوى:
"إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى"
5. إذن: المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P ✓
المعطيات:
• المستقيم AB يقع في المستوى P
• النقطة C في المستوى P
• النقطة C لا تقع على المستقيم AB
المطلوب: إثبات أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
الخطوات:
1. بما أن المستقيم AB يقع في المستوى P، فإن النقطتين A و B تقعان في المستوى P
2. النقطة C تقع في المستوى P (معطى)
3. إذن النقطتان A و C تقعان في المستوى P
4. بحسب مسلمة المستقيم والمستوى:
"إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى"
5. إذن: المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P ✓
خلاصة: المسلمات هي أساس البناء المنطقي في الرياضيات، ومن خلالها نستطيع إثبات النظريات والوصول إلى نتائج جديدة
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...