معادلة الدائرة
اختبر فهمك
اختبار معادلة الدائرة
1
ما هي المعادلة العامة للدائرة؟
الشرح
معادلة الدائرة
الموضوع: معادلة الدائرة وإيجاد المركز ونصف القطر
المفاهيم: المعادلة العامة، الدائرة عند نقطة الأصل، تغير الإشارات، المركز ونصف القطر
الهدف: فهم معادلة الدائرة وكيفية كتابتها بمعرفة المركز ونصف القطر
1 المعادلة العامة للدائرة
(x - h)² + (y - k)² = r²
1
عناصر المعادلة
المعادلة تتكون من:
• (h, k) = إحداثيات مركز الدائرة
• r = نصف القطر
• r² = نصف القطر تربيع (دائماً في الجهة اليمنى من المعادلة)
ملاحظة مهمة: علامة السالب موجودة دائماً في المعادلة قبل h و k
• (h, k) = إحداثيات مركز الدائرة
• r = نصف القطر
• r² = نصف القطر تربيع (دائماً في الجهة اليمنى من المعادلة)
ملاحظة مهمة: علامة السالب موجودة دائماً في المعادلة قبل h و k
2
الجهة اليمنى دائماً r²
قاعدة: الجهة اليمنى من المعادلة دائماً تساوي نصف القطر تربيع
• إذا كان نصف القطر = 5، فالمعادلة تنتهي بـ = 25
• إذا كان نصف القطر = 3، فالمعادلة تنتهي بـ = 9
• إذا كان نصف القطر = 7، فالمعادلة تنتهي بـ = 49
• إذا كان نصف القطر = 5، فالمعادلة تنتهي بـ = 25
• إذا كان نصف القطر = 3، فالمعادلة تنتهي بـ = 9
• إذا كان نصف القطر = 7، فالمعادلة تنتهي بـ = 49
r = 5
→
r² = 25
r = 3
→
r² = 9
r = 7
→
r² = 49
النتيجة: المعادلة العامة (x - h)² + (y - k)² = r² حيث (h, k) المركز و r نصف القطر
2 الدائرة عند نقطة الأصل
x² + y² = r²
1
عندما h = 0 و k = 0
عندما يكون مركز الدائرة عند نقطة الأصل (0, 0):
• نضع h = 0 و k = 0 في المعادلة العامة
• تصبح المعادلة: (x - 0)² + (y - 0)² = r²
• وهذا يساوي: x² + y² = r²
هذه أبسط صورة لمعادلة الدائرة!
• نضع h = 0 و k = 0 في المعادلة العامة
• تصبح المعادلة: (x - 0)² + (y - 0)² = r²
• وهذا يساوي: x² + y² = r²
هذه أبسط صورة لمعادلة الدائرة!
2
مثال
السؤال: أوجد معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 4
الحل:
• المركز عند (0, 0)
• نصف القطر r = 4
• نستخدم المعادلة: x² + y² = r²
لأن 4² = 16
الحل:
• المركز عند (0, 0)
• نصف القطر r = 4
• نستخدم المعادلة: x² + y² = r²
x² + y² = 16
النتيجة: عندما المركز عند الأصل، المعادلة تصبح x² + y² = r²
3 تغير الإشارات (أهم نقطة!)
⚠️ علامة السالب موجودة دائماً في المعادلة
1
القاعدة الذهبية
الإشارة في المعادلة عكس إشارة المركز!
• إذا كان h موجباً → نضع (x - h)
• إذا كان h سالباً → نضع (x - (-h)) = (x + h)
• إذا كان k موجباً → نضع (y - k)
• إذا كان k سالباً → نضع (y - (-k)) = (y + k)
• إذا كان h موجباً → نضع (x - h)
• إذا كان h سالباً → نضع (x - (-h)) = (x + h)
• إذا كان k موجباً → نضع (y - k)
• إذا كان k سالباً → نضع (y - (-k)) = (y + k)
لماذا؟
لأن علامة السالب موجودة في المعادلة الأصلية (x - h)²
فعندما نعوض h سالبة، يصبح سالب في سالب = موجب
لأن علامة السالب موجودة في المعادلة الأصلية (x - h)²
فعندما نعوض h سالبة، يصبح سالب في سالب = موجب
2
جدول الإشارات
| المركز | في المعادلة | السبب |
|---|---|---|
| (2, 3) | (x-2)² + (y-3)² | موجب → سالب |
| (-2, -3) | (x+2)² + (y+3)² | سالب → موجب |
| (5, -1) | (x-5)² + (y+1)² | مختلطة |
| (-4, 6) | (x+4)² + (y-6)² | مختلطة |
النتيجة: الإشارة في المعادلة دائماً عكس إشارة المركز (سالب في المعادلة!)
أمثلة محلولة
مثال 1: مركز سالب
المعطيات:
المركز: (-2, -2)
نصف القطر: r = 5
الحل:
x - (-2) → x + 2
y - (-2) → y + 2
r² = 25
المركز: (-2, -2)
نصف القطر: r = 5
الحل:
x - (-2) → x + 2
y - (-2) → y + 2
r² = 25
(x+2)² + (y+2)² = 25
ملاحظة: السالب في السالب = موجب
مثال 2: مركز موجب
المعطيات:
المركز: (2, 2)
نصف القطر: r = 5
الحل:
x - 2 (السالب من المعادلة)
y - 2 (السالب من المعادلة)
r² = 25
المركز: (2, 2)
نصف القطر: r = 5
الحل:
x - 2 (السالب من المعادلة)
y - 2 (السالب من المعادلة)
r² = 25
(x-2)² + (y-2)² = 25
ملاحظة: نحتفظ بالسالب من المعادلة
مثال 3: إشارات مختلطة
المعطيات: المركز (3, -4) ونصف القطر 6
الحل:
• h = 3 (موجب) → في المعادلة: (x - 3)
• k = -4 (سالب) → في المعادلة: (y - (-4)) = (y + 4)
• r = 6 → r² = 36
الحل:
• h = 3 (موجب) → في المعادلة: (x - 3)
• k = -4 (سالب) → في المعادلة: (y - (-4)) = (y + 4)
• r = 6 → r² = 36
(x-3)² + (y+4)² = 36
مقارنة بصرية
❌ خطأ شائع
المركز: (-2, -3)
(x-2)² + (y-3)² = r²
نسينا أن السالب موجود في المعادلة!
✓ صحيح
المركز: (-2, -3)
(x+2)² + (y+3)² = r²
سالب × سالب = موجب
ملخص المعادلات
المعادلة العامة
(x-h)² + (y-k)² = r²
المركز: (h, k)
نصف القطر: r
نصف القطر: r
عند الأصل
x² + y² = r²
المركز: (0, 0)
نصف القطر: r
نصف القطر: r
تغير الإشارة
h موجب → (x-h)
h سالب → (x+h)
الإشارة تنعكس!
h سالب → (x+h)
الإشارة تنعكس!
نصائح مهمة
• الجهة اليمنى دائماً r² (نصف القطر تربيع)
• السالب موجود في المعادلة قبل h و k
• إذا كان المركز سالب، الإشارة في المعادلة تصبح موجب
• إذا كان المركز موجب، الإشارة في المعادلة تبقى سالب
• عند الأصل (0,0) المعادلة تصبح x² + y² = r²
• لا تنسى تربيع نصف القطر في الجهة اليمنى
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...