نظرية ديموافر

مراجعة: ضرب الأعداد المركبة

ما تعلمناه سابقاً

✅قاعدة ضرب الأعداد المركبة

عند ضرب عددين مركبين في الصورة القطبية:

• نضرب القيم المطلقة في بعض

• نجمع الزوايا مع بعض

✅الصيغة العامة

r_1(\cos θ_1 + i\sin θ_1) × r_2(\cos θ_2 + i\sin θ_2) = r_1r_2(\cos(θ_1 + θ_2) + i\sin(θ_1 + θ_2))

اكتشاف نمط الأسس

تجربة الأسس المختلفة

✅التربيع (الأس 2)

عندما نريد تربيع العدد المركب = نضرب العدد في نفسه

[r(\cos θ + i\sin θ)]^2 = r^2(\cos 2θ + i\sin 2θ)

القيمة المطلقة تتربع • الزاوية تتضاعف

✅التكعيب (الأس 3)

[r(\cos θ + i\sin θ)]^3 = r^3(\cos 3θ + i\sin 3θ)

✅الأس الرابع

[r(\cos θ + i\sin θ)]^4 = r^4(\cos 4θ + i\sin 4θ)

نمط واضح: القيمة المطلقة ترفع للأس المطلوب • الزاوية تضرب في الأس

De Moivre's Theorem

✅النظرية

عمم ديموافر هذا النمط لأي أس صحيح n

✅الصيغة العامة

[r(\cos θ + i\sin θ)]^n = r^n(\cos nθ + i\sin nθ)

✅خطوات التطبيق

1. ارفع القيمة المطلقة r للأس n

2. اضرب الزاوية θ في الأس n

3. احسب cos(nθ) و sin(nθ)

مثال تطبيقي

حل مثال شامل

✅المطلوب

احسب:

[7(\cos 30° + i\sin 30°)]^{15}

✅تطبيق نظرية ديموافر

القيمة المطلقة:

r^n = 7^{15}

الزاوية الجديدة:

nθ = 15 × 30° = 450°

✅تبسيط الزاوية

450° = 360° + 90°

إذن الزاوية المكافئة = 90°

موقع العدد: على المحور التخيلي الموجب

✅حساب القيم المثلثية

\cos 90° = 0

\sin 90° = 1

النتيجة النهائية:

7^{15} \cdot i

نقاط مهمة

ملاحظات أساسية

✅تبسيط الزوايا

• دائماً اطرح مضاعفات 360° للحصول على الزاوية المكافئة

• استخدم الزاوية المكافئة لحساب القيم المثلثية

✅فائدة النظرية

• تبسط حساب الأسس العالية للأعداد المركبة

• أسرع من ضرب العدد في نفسه عدة مرات

• مفيدة في الهندسة وعلوم الحاسوب

نظرية ديموافر

الشرح

مراجعة: ضرب الأعداد المركبة

ما تعلمناه سابقاً

✅قاعدة ضرب الأعداد المركبة

✅الصيغة العامة

اكتشاف نمط الأسس

تجربة الأسس المختلفة

✅التربيع (الأس 2)

✅التكعيب (الأس 3)

✅الأس الرابع

نظرية ديموافر

De Moivre's Theorem

✅النظرية

✅الصيغة العامة

✅خطوات التطبيق

مثال تطبيقي

حل مثال شامل

✅المطلوب

✅تطبيق نظرية ديموافر

✅تبسيط الزاوية

✅حساب القيم المثلثية

نقاط مهمة

ملاحظات أساسية

✅تبسيط الزوايا

✅فائدة النظرية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات