كيف تختار القانون الصحيح للاحتمالات

الموضوع: أنواع الاحتمالات وكيفية اختيار القانون المناسب

المفاهيم: الاحتمال البسيط، الاحتمال ذو الحدين، احتمالات النجاح والفشل

الهدف: معرفة متى نستخدم كل نوع من أنواع الاحتمالات

المقدمة

لكل نوع من الاحتمالات قانون خاص به

السؤال الأساسي: كيف نعرف أي قانون نستخدم؟

نحتاج أن نسأل أنفسنا ثلاثة أسئلة:

1. هل التجربة مرة واحدة ونتيجة واحدة؟
2. هل التجربة تتكرر أكثر من مرة وفي كل مرة نتيجة واحدة (نجاح/فشل)؟
3. هل التجربة مرة واحدة ولكن لها عدة نتائج ممكنة؟

معرفة نوع التجربة هو المفتاح لاختيار القانون الصحيح

1 الاحتمال البسيط

تجربة واحدة + نتيجة واحدة

متى نستخدمه؟

✓ عندما نقوم بالتجربة مرة واحدة
✓ عندما تكون النتائج محدودة وواضحة
✓ يمكن عدّ النتائج مباشرة

القانون:

P(A) =

عدد النتائج المواتية

عدد النتائج الممكنة

مثال: رمي قطعة نقدية

المسألة: نرمي قطعة نقدية مرة واحدة. ما احتمال أن تطلع لنا صورة؟

الحل:

التحليل:
• التجربة: رمي قطعة نقدية مرة واحدة ✓
• النتائج الممكنة: {صورة، كتابة} → 2 نتيجة
• النتائج المواتية: {صورة} → 1 نتيجة

→ نستخدم الاحتمال البسيط

P(\text{صورة}) = \frac{1}{2}

P(\text{كتابة}) = \frac{1}{2}

الجواب: احتمال الصورة = $\frac{1}{2}$ أو 50%

الاحتمال البسيط: تجربة واحدة → عدّ مباشر للنتائج

2 الاحتمال ذو الحدين

تكرار التجربة + نتيجتان فقط (نجاح/فشل)

متى نستخدمه؟

✓ عندما نكرر التجربة أكثر من مرة
✓ في كل تجربة نتيجتان فقط: نجاح أو فشل
✓ احتمال النجاح ثابت في كل مرة
✓ التجارب مستقلة عن بعضها

القانون:

P(X = k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

مثال: رمي قطعة نقدية مرتين

المسألة: نرمي نفس القطعة النقدية مرتين. ما احتمال أن تطلع لنا صورة مرتين؟

الحل:

التحليل:
• التجربة: رمي القطعة مرتين ✓
• في كل رمية: نجاح (صورة) أو فشل (كتابة) ✓
• احتمال الصورة ثابت =

\frac{1}{2}

✓

→ نستخدم الاحتمال ذو الحدين

تحديد المتغيرات:
•

n = 2

(عدد الرميات)
•

k = 2

(نريد صورة مرتين)
•

p = \frac{1}{2}

(احتمال الصورة)

P(X = 2) = C(2,2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0

= 1 \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}

الجواب: $\frac{1}{4}$ أو 25%

الاحتمال ذو الحدين: تكرار + نجاح/فشل في كل مرة

3 احتمالات النجاح والفشل

تجربة واحدة + عدة نتائج ممكنة

متى نستخدمه؟

✓ عندما تكون التجربة مرة واحدة
✓ لكن لها عدة نتائج ممكنة للنجاح
✓ نحتاج لحساب عدد الحالات المواتية والممكنة

السؤال الحاسم:
هل الترتيب مهم؟

لا → استخدم التوافيق (C)
نعم → استخدم التباديل (P)

القانون:

P =

حالات النجاح (C أو P)

الحالات الممكنة (C أو P)

مثال: سحب الطلاب

المسألة: عندنا 20 طالب من الثانوية و20 طالب من المتوسطة. نبغى نسحب 6 طلاب. ما احتمال أن نسحب 3 من المتوسطة و3 من الثانوية؟

الحل:

التحليل:
• التجربة: سحب 6 طلاب مرة واحدة ✓
• عدة طرق ممكنة لاختيار 3 من المتوسطة و3 من الثانوية ✓
• هل الترتيب مهم؟ لا (اختيار فريق)

→ نستخدم التوافيق (C)

الخطوة 1: حالات النجاح
• اختيار 3 من 20 متوسطة:

C(20,3)

• اختيار 3 من 20 ثانوية:

C(20,3)

• إجمالي حالات النجاح:

C(20,3) \times C(20,3)

C(20,3) = \frac{20!}{3! \times 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} = 1140

حالات النجاح = 1140 × 1140 = 1,299,600

الخطوة 2: حالات الممكنة
• اختيار أي 6 طلاب من 40:

C(40,6)

C(40,6) = \frac{40!}{6! \times 34!} = 3,838,380

الخطوة 3: حساب الاحتمال

P = \frac{1,299,600}{3,838,380} \approx 0.338

الجواب: حوالي 33.8%

احتمالات النجاح والفشل: عدة نتائج ممكنة → استخدم C أو P

4 شجرة القرار: كيف تختار القانون؟

السؤال الأول: كم مرة نقوم بالتجربة؟

→ مرة واحدة:
اسأل نفسك: كم عدد النتائج الممكنة؟

• نتيجة واحدة محتملة → احتمال بسيط
مثال: رمي قطعة نقدية مرة

• عدة نتائج ممكنة → احتمالات النجاح والفشل
اسأل: هل الترتيب مهم؟
- لا → استخدم C
- نعم → استخدم P
مثال: سحب طلاب من مجموعات مختلفة

→ أكثر من مرة:
اسأل نفسك: كم نتيجة في كل تجربة؟

• نتيجتان فقط (نجاح/فشل) → احتمال ذو الحدين
مثال: رمي قطعة نقدية عدة مرات

جدول المقارنة

النوع	متى نستخدمه	القانون	مثال
احتمال بسيط	تجربة واحدة نتيجة واحدة	مواتية ممكنة	رمي نرد مرة
احتمال ذو الحدين	تكرار التجربة نجاح/فشل	$C(n,k) p^k q^{n-k}$	رمي عملة 5 مرات
نجاح وفشل	تجربة واحدة عدة نتائج	C/P(نجاح) C/P(كل)	سحب طلاب

الخلاصة

الخطوات الثلاث لاختيار القانون:

1. كم مرة نقوم بالتجربة؟ (مرة واحدة / أكثر من مرة)
2. كم نتيجة في كل تجربة؟ (واحدة / اثنتان / عدة)
3. هل الترتيب مهم؟ (نعم → P / لا → C)

كيف تختار القانون الصحيح للاحتمالات

اختبر فهمك

اختبار: كيف تختار القانون الصحيح للاحتمالات

الشرح