اختبر فهمك

اختبار: محصلة ومركبات المتجهات

1

ما هي المحصلة؟

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة: محصلة ومركبات المتجهات

مسائل تطبيقية على إيجاد المحصلة والمركبات

1

إيجاد المحصلة بطريقة الرأس إلى الذيل

السؤال:

جسم تحرك أفقياً مسافة $5$ m نحو اليمين، ثم تحرك عمودياً مسافة $12$ m لأعلى.
المطلوب: إيجاد المحصلة (الإزاحة الكلية)

رسم المتجهات

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المتجه الأفقي:

A = 5

m

• المتجه العمودي:

B = 12

m

• المتجهان متعامدان (زاوية قائمة بينهما)

• المطلوب: المحصلة

R = ?

الخطوة 2: استخدام فيثاغورس

لأن المتجهين متعامدين نستخدم نظرية فيثاغورس:

R = \sqrt{A^2 + B^2}

الخطوة 3: التعويض والحساب

R = \sqrt{5^2 + 12^2}

R = \sqrt{25 + 144}

R = \sqrt{169}

R = 13 \text{ m}

الإجابة النهائية: $R = 13$ m

2

إيجاد مركبات متجه

السؤال:

قوة مقدارها $F = 100$ N تؤثر على جسم بزاوية $\theta = 37°$ مع المستوى الأفقي.
المطلوب: إيجاد المركبة الأفقية والمركبة العمودية للقوة
معطى: $\cos(37°) = 0.8$ و $\sin(37°) = 0.6$

رسم المركبات

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• القوة:

F = 100

N

• الزاوية مع الأفقي:

\theta = 37°

• $\cos(37°) = 0.8$

• $\sin(37°) = 0.6$

الخطوة 2: حساب المركبة الأفقية

القانون:

F_x = F \times \cos(\theta)

F_x = 100 \times 0.8

F_x = 80 \text{ N}

الخطوة 3: حساب المركبة العمودية

القانون:

F_y = F \times \sin(\theta)

F_y = 100 \times 0.6

F_y = 60 \text{ N}

الإجابة النهائية: $F_x = 80$ N و $F_y = 60$ N

3

إيجاد المحصلة باستخدام المركبات

السؤال:

قوتان تؤثران على جسم:
• القوة الأولى: $F_1 = 30$ N في الاتجاه الأفقي
• القوة الثانية: $F_2 = 40$ N في الاتجاه العمودي
المطلوب: إيجاد المحصلة واتجاهها

رسم القوى

الحل:

الخطوة 1: حساب مقدار المحصلة

المركبة الأفقية للمحصلة:

R_x = F_1 = 30 \text{ N}

المركبة العمودية للمحصلة:

R_y = F_2 = 40 \text{ N}

مقدار المحصلة:

R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}

R = \sqrt{30^2 + 40^2}

R = \sqrt{900 + 1600}

R = \sqrt{2500}

R = 50 \text{ N}

الخطوة 2: حساب اتجاه المحصلة

نستخدم الظل لإيجاد الزاوية:

\tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{40}{30} = 1.33

\theta = 53°

(من الأفقي باتجاه الأعلى)

الإجابة النهائية: $R = 50$ N بزاوية $53°$ مع الأفقي

ملخص القوانين المستخدمة

المحصلة (متعامدان)

R = \sqrt{A^2 + B^2}

المسألة 1 و 3

المركبة الأفقية

F_x = F \cos(\theta)

المسألة 2

المركبة العمودية

F_y = F \sin(\theta)

المسألة 2

نصائح مهمة

• استخدم فيثاغورس عندما يكون المتجهان متعامدين

• كوساين للمركبة الأفقية دائماً

• ساين للمركبة العمودية دائماً

• تأكد من الزاوية مقاسة من الأفقي

• ارسم دائماً مخطط للمسألة

• تحقق من الوحدات في الإجابة النهائية

الشرح

المحصلة ومركبات المتجهات

الموضوع: إيجاد محصلة متجهين وتحليل المتجه إلى مركبات

المفاهيم: المحصلة، طريقة الرأس إلى الذيل، طريقة متوازي الأضلاع، المركبة الأفقية، المركبة العمودية

الهدف: فهم كيفية جمع المتجهات وتحليلها إلى مركباتها

1 محصلة متجهين

المحصلة = التأثير النهائي لمتجهين على جسم

المفهوم:
المحصلة تعني وين بيكون الجسم في النهاية بعد تطبيق متجهين

مثال:
• جسم في نقطة الأصل
• سوينا له إزاحة أفقية

2

cm (المتجه الأول)
• بعدين سوينا له إزاحة عمودية

3

cm إلى أعلى (المتجه الثاني)

السؤال: وين بيكون الجسم في النهاية؟
الجواب: المحصلة تعطينا الموقع النهائي!

1

الطريقة الأولى: الرأس إلى الذيل

الخطوات:
1. نضع المتجه الأول من نقطة الأصل
2. في نهاية المتجه الأول نضع المتجه الثاني
3. نحافظ على الاتجاه دائماً (ما يتغير)
4. نرسم متجه من بداية المتجه الأول إلى نهاية المتجه الثاني

النتيجة: الخط المنقط هو المحصلة

2

الطريقة الثانية: متوازي الأضلاع

متى نستخدمها:
عندما تكون بداية المتجهين هي نفسها

الخطوات:
1. نخلي المتجهين يبدون من نفس النقطة
2. نكمل رسم متوازي أضلاع (خطوط منقطة)
3. نرسم القطر من نقطة البداية

المحصلة: القطر الأطول هو المحصلة

الطريقتان تعطيان نفس النتيجة!

2 مركبات المحصلة

المركبات = تحليل المتجه إلى جزء أفقي وجزء عمودي

لماذا نحتاج المركبات؟

كأن المحصلة تتكون من:
• مركبة أفقية: كم نسحب الجسم أفقياً
• مركبة عمودية: كم نسحب الجسم عمودياً

فلو سحبنا جسم في اتجاه المحصلة = كأننا نسحبه أفقياً بمقدار معين + عمودياً بمقدار معين

1

رسم المركبات

2

القوانين

أولاً: لازم نعرف الزاوية
الزاوية

\theta

من المستوى الأفقي

المركبة الأفقية:

R_x = R \times \cos(\theta)

نضرب المحصلة في كوساين الزاوية

المركبة العمودية:

R_y = R \times \sin(\theta)

نضرب المحصلة في ساين الزاوية

3

مثال توضيحي

المعطيات:
• محصلة قيمتها

R = 10

N
• زاوية مع الأفقي

\theta = 30°

الحل:

R_x = 10 \times \cos(30°)

R_x = 10 \times 0.866

R_x = 8.66 \text{ N}

R_y = 10 \times \sin(30°)

R_y = 10 \times 0.5

R_y = 5 \text{ N}

التفسير:
كأننا نسحب الجسم أفقياً بقوة

8.66

N
وعمودياً بقوة

5

N

كوساين للأفقي، ساين للعمودي

الملخص النهائي

المحصلة

الطريقة الأولى
↓
الرأس إلى الذيل
↓
نضع المتجهات متتالية

الطريقة الثانية
↓
متوازي الأضلاع
↓
من نفس النقطة

المركبات

المركبة الأفقية
↓
$R_x = R \times \cos(\theta)$

المركبة العمودية
↓
$R_y = R \times \sin(\theta)$

\theta

من الأفقي

المحصلة ومركبات المتجهات

اختبر فهمك

اختبار: محصلة ومركبات المتجهات

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة: محصلة ومركبات المتجهات

إيجاد المحصلة بطريقة الرأس إلى الذيل

السؤال:

رسم المتجهات

الحل:

إيجاد مركبات متجه

السؤال:

رسم المركبات

الحل:

إيجاد المحصلة باستخدام المركبات

السؤال:

رسم القوى

الحل:

ملخص القوانين المستخدمة

نصائح مهمة

الشرح

المحصلة ومركبات المتجهات

1 محصلة متجهين

2 مركبات المحصلة

الملخص النهائي

المحصلة

المركبات

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات