التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود

الموضوع: كيفية تكامل واشتقاق دوال كثيرات الحدود

الدوال: $x^2$ ، $2x^2$ ، $x^2 + 1$

الهدف: تطبيق قاعدة التكامل والاشتقاق والتحقق من أنهما عمليتان عكسيتان

القواعد الأساسية

قاعدة التكامل:

1. زِد 1 على الأس
2. اقسم على الأس الجديد
3. أضف الثابت C

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

قاعدة الاشتقاق:

1. انقل الأس ليصبح معاملاً أمام الحد (اضربه)
2. انقص من الأس 1
3. اشتقاق أي ثابت = صفر

\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}

التكامل:

الأس الحالي = 2
نزيد عليه 1 → الأس الجديد = 3
نقسم على الأس الجديد = 3

\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C

التحقق بالاشتقاق:

الأس = 3 → ينتقل معاملاً أمام

x

الثلاثة تُلغى مع الثلاثة في المقام
ننقص من الأس 1 → يصير 2
اشتقاق C = صفر

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{3x^2}{3} + 0 = x^2 \checkmark

التكامل:

الأس الحالي = 2
نزيد عليه 1 → الأس الجديد = 3
المعامل 2 يبقى كما هو — لا نتجاهله
نقسم على الأس الجديد = 3

\int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} + C

التحقق بالاشتقاق:

الأس = 3 → ينتقل معاملاً →

3 \times \dfrac{2}{3} = 2

الثلاثة تُلغى مع الثلاثة في المقام
ننقص من الأس 1 → يصير 2
اشتقاق C = صفر

\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^3}{3} + C\right) = \frac{3 \cdot 2x^2}{3} + 0 = 2x^2 \checkmark

التكامل — الجزء الأول ( $x^2$ ):

نفس الطريقة → أس 2 نزيد عليه 1 يصير 3، نقسم على 3

\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}

التكامل — الجزء الثاني ( $1 = x^0$ ):

الرقم 1 =

1 \cdot x^0

(الأس = صفر)
نزيد على الأس 1 → يصير 1
نقسم على الأس الجديد (1) →

\dfrac{x^1}{1} = x

\int 1 \, dx = \int x^0 \, dx = \frac{x^1}{1} = x

النتيجة الكاملة:

\int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C

التحقق بالاشتقاق:

اشتقاق $\dfrac{x^3}{3}$ :
الأس 3 ينتقل معاملاً →

\dfrac{3x^2}{3} = x^2

✓

اشتقاق $x$ (أي $x^1$ ):
الأس 1 ينتقل معاملاً →

1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1

✓
(لأن

x^0 = 1

)

اشتقاق C:
اشتقاق أي ثابت = صفر

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + x + C\right) = x^2 + 1 + 0 = x^2 + 1 \checkmark

رجعنا للدالة الأصلية — التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان ✓

التكامل: زِد 1 على الأس ← اقسم على الأس الجديد ← أضف C

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

الاشتقاق: انقل الأس معاملاً ← انقص من الأس 1 ← الثابت = صفر

\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}