الضرب الاتجاهي بين المتجهات (Cross Product)

في هذا الدرس سنتعلم كيفية إجراء عملية الضرب الاتجاهي بين متجهين.

وطريقة الحل تشبه كثيراً طريقة إيجاد محددة مصفوفة 3×3 التي تعلمناها سابقاً.

ترتيب المحددة

إذا كان لدينا المتجهان:

U = ⟨3 ، -2 ، 1⟩

V = ⟨3 ، 3 ، 1⟩

فنرتب المحددة بالشكل التالي:

• الصف الأول يحتوي على متجهات الوحدة: i ، j ، k.

• الصف الثاني يحتوي على عناصر المتجه U.

• الصف الثالث يحتوي على عناصر المتجه V.

ونلاحظ أن الضرب الاتجاهي يتم دائماً في ثلاثة أبعاد، ولذلك نستخدم متجهات الوحدة i و j و k.

استخراج المحددة

نبدأ بالعنصر الأول i.

نضع أمامه محددة 2×2، ثم نحذف صف i وعموده ونكتب العناصر المتبقية داخل المحددة.

بعد ذلك نضع إشارة السالب.

ثم نكتب j، ونكرر العملية نفسها بحذف صف j وعموده.

وأخيراً نضع علامة الجمع، ثم k، ونحذف صف k وعموده لنحصل على آخر محددة 2×2.

حساب المحددات

بعد تكوين المحددات الثلاث، نحسب كل محددة بالطريقة المعتادة:

نضرب عناصر القطر الرئيسي، ثم نطرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر.

مع الانتباه جيداً إلى الإشارات، وخصوصاً إشارة السالب الموجودة قبل الحد الأوسط.

وفي النهاية نحصل على متجه جديد، تكون مركباته في اتجاهات:

• i

• j

• k

وهذا هو ناتج الضرب الاتجاهي.

المثال الثاني

إذا كان لدينا:

U = ⟨4 ، 2 ، -1⟩

V = ⟨5 ، 1 ، 4⟩

فنكتب المحددة بنفس الترتيب:

• الصف الأول: i ، j ، k.

• الصف الثاني: عناصر U.

• الصف الثالث: عناصر V.

ثم نكرر نفس خطوات التوسع:

• حد i مع محددة 2×2.

• ثم إشارة السالب وحد j مع محددته.

• ثم إشارة الجمع وحد k مع محددته.

بعد ذلك نحسب المحددات الثلاث، مع الانتباه إلى الإشارات.

النتيجة

إذا أجريت الحسابات بطريقة صحيحة، فستكون مركبات المتجه الناتج:

• 9 في اتجاه i.

• -21 في اتجاه j.

• -6 في اتجاه k.

أي أن:

U × V = ⟨9 ، -21 ، -6⟩

الخلاصة

لحساب الضرب الاتجاهي بين متجهين ثلاثيي الأبعاد:

• نكوّن محددة 3×3 تحتوي على متجهات الوحدة i و j و k في الصف الأول.

• نضع عناصر المتجهين في الصفين التاليين.

• نوسع المحددة على الصف الأول.

• نحسب المحددات 2×2.

• نراعي الإشارات، وخاصة إشارة السالب قبل الحد الأوسط.

والناتج دائماً يكون متجهاً جديداً في ثلاثة أبعاد، وليس عدداً كما في الضرب الداخلي.