حساب الضرب الاتجاهي (Cross Product)

١ الفكرة — محددة 3×3

حساب الضرب الاتجاهي شبيه بإيجاد محددة مصفوفة 3×3.

الصف الأولi, j, k (متجهات الوحدة)

الصف الثانيمكونات المتجه U

الصف الثالثمكونات المتجه V

\vec{U} \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ U_x & U_y & U_z \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}

مكوّن i

+\vec{i}(U_y V_z - U_z V_y)

مكوّن j

-\vec{j}(U_x V_z - U_z V_x)

مكوّن k

+\vec{k}(U_x V_y - U_y V_x)

الإشارات: +i ثم −j ثم +k — لا تنسَ السالب قبل j!

٢ مثال ١ — U=(3,−2,1) و V=(3,3,1) ▼

\vec{U} \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}

مكوّن i

+\vec{i}\,[(-2)(1) - (1)(3)] = \vec{i}(-2-3) = -5\vec{i}

مكوّن j

-\vec{j}\,[(3)(1) - (1)(3)] = -\vec{j}(3-3) = 0\vec{j}

مكوّن k

+\vec{k}\,[(3)(3) - (-2)(3)] = \vec{k}(9+6) = 15\vec{k}

\vec{U} \times \vec{V} = -5\vec{i} + 0\vec{j} + 15\vec{k}

٣ مثال ٢ — U=(4,2,−1) و V=(5,1,4) ▼

\vec{U} \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -1 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}

مكوّن i

+\vec{i}\,[(2)(4) - (-1)(1)] = \vec{i}(8+1) = 9\vec{i}

مكوّن j

-\vec{j}\,[(4)(4) - (-1)(5)] = -\vec{j}(16+5) = -21\vec{j}

مكوّن k

+\vec{k}\,[(4)(1) - (2)(5)] = \vec{k}(4-10) = -6\vec{k}

\vec{U} \times \vec{V} = 9\vec{i} - 21\vec{j} - 6\vec{k}

٤ الخلاصة

الخطوة	الإجراء
١	ابنِ المصفوفة: الصف الأول i,j,k — الثاني U — الثالث V
٢	احسب مكوّن i (+) بتغطية عمود i وصفه
٣	احسب مكوّن j (−) بتغطية عمود j وصفه — لا تنسَ السالب!
٤	احسب مكوّن k (+) بتغطية عمود k وصفه
٥	المحددة 2×2 = القطر الرئيسي ناقص القطر الثانوي

الإشارات دائمًا: +i ثم −j ثم +k

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات