طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

مقدمة: ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات هو عملية رياضية متقدمة تُستخدم في العديد من التطبيقات العملية

تُستخدم في:

حل أنظمة المعادلات المعقدة
التحويلات الهندسية في الرسوميات
النمذجة الاقتصادية والإحصائية
معالجة الإشارات والصور

شروط ضرب المصفوفات

الشرط الأساسي:

عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية

مصفوفة A (m×n) × مصفوفة B (n×p) = مصفوفة C (m×p)

أمثلة على الشروط:

✓ يمكن الضرب:

A(3×2) × B(2×4) = C(3×4)

عدد أعمدة A = عدد صفوف B = 2

✗ لا يمكن الضرب:

A(3×2) × B(3×4) = ممنوع

عدد أعمدة A ≠ عدد صفوف B

خطوات فحص إمكانية الضرب:

1حدد رتبة المصفوفة الأولى (m×n)

2حدد رتبة المصفوفة الثانية (p×q)

3تحقق: هل n = p؟

4إذا كان n = p، يمكن الضرب والناتج (m×q)

طريقة ضرب المصفوفات

القاعدة الأساسية:

العنصر في الصف i والعمود j من المصفوفة الناتجة = حاصل ضرب الصف i من المصفوفة الأولى في العمود j من المصفوفة الثانية

مثال تفصيلي: ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2×3} × B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}_{3×2}

خطوات الحل:

1فحص الشرط: أعمدة A = 3، صفوف B = 3 ✓

2رتبة الناتج: C = 2×2

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}

3حساب c₁₁: الصف الأول من A × العمود الأول من B

c₁₁ = (1×7) + (2×9) + (3×11) = 7 + 18 + 33 = 58

4حساب c₁₂: الصف الأول من A × العمود الثاني من B

c₁₂ = (1×8) + (2×10) + (3×12) = 8 + 20 + 36 = 64

5حساب c₂₁: الصف الثاني من A × العمود الأول من B

c₂₁ = (4×7) + (5×9) + (6×11) = 28 + 45 + 66 = 139

6حساب c₂₂: الصف الثاني من A × العمود الثاني من B

c₂₂ = (4×8) + (5×10) + (6×12) = 32 + 50 + 72 = 154

النتيجة: C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}

خصائص ضرب المصفوفات

⚠️ خاصية عدم التبديل

بشكل عام: A × B ≠ B × A

ضرب المصفوفات ليس تبديلي

✓ خاصية التجميع

(A × B) × C = A × (B × C)

ضرب المصفوفات تجميعي

✓ خاصية التوزيع

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

الضرب يتوزع على الجمع

✓ المصفوفة المحايدة

A × I = I × A = A

حيث I هي مصفوفة الهوية

أمثلة تطبيقية

المسائل من الكتاب:

أوجد الناتج في كل مما يأتي إن أمكن، وإذا تعذر ذلك فاكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب:

المسألة 13:

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات، ليس ضرب

المسألة 14:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات 4×3

المسألة 15:

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

الحل: لا يمكن - رتب مختلفة (3×1 + 1×3)

المسألة 16:

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات 2×3

المسألة 17:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix}

الحل: عمليات على مصفوفات عمود 2×1

المسألة 18:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

الحل: لا يمكن - رتب مختلفة (2×1 و 2×2)

تمارين للممارسة

تمرين 1: فحص إمكانية الضرب

حدد أي من العمليات التالية ممكنة:

A(2×3) × B(3×4)

النتيجة: ممكن، الناتج 2×4

C(4×2) × D(3×5)

النتيجة: غير ممكن (2 ≠ 3)

تمرين 2: ضرب مصفوفات بسيط

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

الحل: الضرب في مصفوفة الهوية يعطي نفس المصفوفة

النقاط الرئيسية

شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية
رتبة الناتج: (صفوف الأولى) × (أعمدة الثانية)
طريقة الحساب: صف × عمود = مجموع حاصل ضرب العناصر المتقابلة
عدم التبديل: A×B ≠ B×A في العموم
التجميع: (A×B)×C = A×(B×C)
التوزيع: A×(B+C) = A×B + A×C