طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

اختبر فهمك

ما الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين؟

أسئلة متوقعة

تمارين جمع وطرح المصفوفات

شرط العملية

نفس الرتبة تماماً

ممكن ✓

مسائل ١ ٢ ٤ ٥

غير ممكن ✗

مسائل ٣ ٦

١ مسألة ١ — طرح مصفوفتي عمود

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×1 — يمكن الطرح.

العنصر الأول 19 − (−5) = 24

العنصر الثاني −2 − 8 = −10

العنصر الثالث 4 − 1 = 3

العنصر الرابع 7 − 0 = 7

\begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

٢ مسألة ٢ — طرح مصفوفتين 4×3

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×3 — يمكن الطرح.

الصف الأول 7, 5, −9

الصف الثاني 3, 17, −2

الصف الثالث 1, −23, 14

الصف الرابع 13, −40, −5

\begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

٣ مسألة ٣ — عملية غير ممكنة

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

المصفوفة الأولى رتبة 3×1 — عمود

المصفوفة الثانية رتبة 1×3 — صف

لا يمكن — الرتبتان مختلفتان: (3×1) ≠ (1×3)

٤ مسألة ٤ — طرح مصفوفتين 2×3

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 2×3 — يمكن الطرح.

الصف الأول −6, 13, 14

الصف الثاني −11, −2, −3

\begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

٥ مسألة ٥ — عمليات متتالية على مصفوفات 2×1

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix}

جميع المصفوفات رتبتها 2×1 — يمكن إجراء العمليات.

الخطوة الأولى — الجمع:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix}

الخطوة الثانية — الطرح:

\begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

٦ مسألة ٦ — عمليات مختلطة غير ممكنة

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

المصفوفتان الأولى والثانية رتبتهما 2×1 — يمكن طرحهما:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \end{bmatrix}

الناتج المؤقت رتبة 2×1

المصفوفة الثالثة رتبة 2×2 — مختلفة

لا يمكن — لا يمكن جمع مصفوفة (2×1) مع مصفوفة (2×2)

٧ ملخص النتائج

المسألة	الرتبة	النتيجة
مسألة ١	4×1	ممكن ✓
مسألة ٢	4×3	ممكن ✓
مسألة ٣	3×1 و 1×3	غير ممكن ✗
مسألة ٤	2×3	ممكن ✓
مسألة ٥	2×1	ممكن ✓
مسألة ٦	2×1 و 2×2	غير ممكن ✗

٨ الخلاصة

— شرط الجمع والطرح: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة تماماً.

— 3×1 ≠ 1×3: مصفوفة عمود وصف لا يمكن جمعهما رغم نفس عدد العناصر.

— العمليات المتتالية: نتحقق من الرتبة بعد كل عملية قبل الانتقال للتالية.

— القاعدة العامة: الجمع والطرح يتطلبان تطابق الرتبة في الصفوف والأعمدة معاً.

الشرح

ضرب المصفوفات

شرط الضرب

أعمدة الأولى = صفوف الثانية

رتبة الناتج

صفوف الأولى × أعمدة الثانية

A×B ≠ B×A

عدم التبديل

١ شروط ضرب المصفوفات

— الشرط الأساسي: عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.

— رتبة المصفوفة الناتجة = صفوف الأولى × أعمدة الثانية.

A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}

مثال — يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{2 \times 4} = C_{3 \times 4}

مثال — لا يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{3 \times 4} \quad \text{---}

— أعمدة A = 2، صفوف B = 3 — غير متساويان.

الأرقام الداخلية متساوية → ضرب ممكن، الناتج = الأرقام الخارجية

٢ طريقة ضرب المصفوفات

— العنصر $c_{ij}$ = حاصل ضرب الصف $i$ من A في العمود $j$ من B.

— نضرب كل عنصر من الصف في العنصر المقابل من العمود ثم نجمع النواتج.

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}

مثال — ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}

c_{11}

7+18+33 = 58

c_{12}

8+20+36 = 64

c_{21}

28+45+66 = 139

c_{22}

32+50+72 = 154

C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}

٣ حاسبة تفاعلية — ضرب مصفوفتين 2×2

أدخل عناصر المصفوفتين لرؤية خطوات الضرب.

٤ خصائص ضرب المصفوفات

عدم التبديل

A \times B \neq B \times A

التجميع

(A \times B) \times C = A \times (B \times C)

التوزيع

A \times (B+C) = A \times B + A \times C

مصفوفة الهوية

A \times I = I \times A = A

الأهم: الترتيب مهم دائماً — A×B لا يساوي B×A في العموم

٥ مسائل — جمع وطرح المصفوفات

— أوجد الناتج إن أمكن، وإلا اكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب.

المسألة ١٣

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

المسألة ١٤

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

المسألة ١٥

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

لا يمكن — الرتبتان مختلفتان: (3×1) ≠ (1×3)

المسألة ١٦

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

المسألة ١٧

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

المسألة ١٨

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

لا يمكن — لا يمكن جمع مصفوفة (2×1) مع مصفوفة (2×2)

٦ ملخص الخصائص

الخاصية	القاعدة	ملاحظة
شرط الضرب	أعمدة الأولى = صفوف الثانية	الأرقام الداخلية
رتبة الناتج	صفوف الأولى × أعمدة الثانية	الأرقام الخارجية
عدم التبديل	A×B ≠ B×A	الترتيب مهم
التجميع	(A×B)×C = A×(B×C)	يُسمح بتغيير القوسين
التوزيع	A×(B+C) = AB+AC	الضرب يتوزع على الجمع
مصفوفة الهوية	A×I = I×A = A	لا تغير المصفوفة

٧ الخلاصة

— شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية — وإلا فلا يمكن الضرب.

— رتبة الناتج: خذ الرقم الأول من A والرقم الثاني من B.

— طريقة الحساب: كل عنصر

c_{ij}

= حاصل ضرب الصف

i

في العمود

j

— عدم التبديل: الترتيب مهم —

A \times B \neq B \times A

في العموم.

حل بالخطوات

فحص إمكانية الضرب: A(3×2) × B(2×4)

ضرب المصفوفات:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

حساب حاصل ضرب صف في عمود: [1, 2, 3] × [4; 5; 6]

فحص عدم إمكانية الضرب: A(2×3) × B(4×2)

ضرب مصفوفة 3×1 في مصفوفة 1×3:

\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}

حساب A² حيث A =

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...