النظير الضربي للمصفوفات

اختبر فهمك

ما هو النظير الضربي للمصفوفة؟

أسئلة متوقعة

النظير الضربي للمصفوفات — مسائل محلولة

الرياضيات — المصفوفات

المسألة ١

مصفوفة D بمحددة سالبة

المسألة ٢

مصفوفة T بعنصر سالب

١ أوجد النظير الضربي للمصفوفة D

D = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}

الخطوة ١ — المحددة:

\det(D) = (3)(-4)-(7)(1)

= -12-7 = -19

الخطوة ٢ — تبديل القطر وتغيير الإشارات:

— القطر الرئيسي: نبدّل 3 و −4.
— القطر الآخر: 7 تصبح −7، و 1 تصبح −1.

\begin{bmatrix} -4 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — القسمة على المحددة −19:

D^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \tfrac{4}{19} & \tfrac{7}{19} \\ \tfrac{1}{19} & -\tfrac{3}{19} \end{bmatrix}

التحقق:

D \times D^{-1}

= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark

D⁻¹ = [[4/19 ، 7/19] ، [1/19 ، −3/19]]

٢ أوجد النظير الضربي للمصفوفة T

T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}

الخطوة ١ — المحددة:

\det(T) = (2)(3)-(1)(-4)

= 6+4 = 10

الخطوة ٢ — تبديل القطر وتغيير الإشارات:

— القطر الرئيسي: نبدّل 2 و 3.
— القطر الآخر: 1 تصبح −1، و −4 تصبح 4.

\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — القسمة على المحددة 10:

T^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.3 & -0.1 \\ 0.4 & 0.2 \end{bmatrix}

التحقق — عناصر T × T⁻¹:

العنصر (1,1):

2(0.3)+1(0.4) = 0.6+0.4 = 1 \checkmark

العنصر (1,2):

2(-0.1)+1(0.2) = -0.2+0.2 = 0 \checkmark

العنصر (2,1):

-4(0.3)+3(0.4) = -1.2+1.2 = 0 \checkmark

العنصر (2,2):

-4(-0.1)+3(0.2) = 0.4+0.6 = 1 \checkmark

T⁻¹ = [[0.3 ، −0.1] ، [0.4 ، 0.2]]

٣ ملخص الخطوات

الخطوة	العملية
١ — المحددة	det(A) = ad − bc
٢ — التبديل والتغيير	تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر
٣ — القسمة	ضرب الناتج في 1/det(A)
التحقق	A × A⁻¹ = I

٤ الخلاصة

— المحددة السالبة: لا تمنع وجود النظير الضربي — المهم أنها ≠ 0.
— عند القسمة على محددة سالبة: تتغير إشارات جميع عناصر المصفوفة الناتجة.
— العناصر السالبة في المصفوفة الأصلية لا تؤثر على آلية الخطوات — القواعد ذاتها.
— التحقق دائماً ضروري: حاصل الضرب يجب أن يساوي مصفوفة الوحدة تماماً.

الشرح

النظير الضربي للمصفوفات 2×2

الرياضيات — المصفوفات

الخطوة ١

المحددة (ad−bc)

الخطوة ٢

تبديل وتغيير الإشارات

الخطوة ٣

القسمة على المحددة

١مفهوم النظير الضربي

— النظير الضربي للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة.
— مشابه للأعداد: ضرب العدد في نظيره يعطي 1.

A \times A^{-1} = I

— الرمز

A^{-1}

هو رمز خاص وليس أساً حسابياً.
— يجب أن تكون المحددة ≠ 0 حتى يوجد النظير الضربي.

٢الصيغة العامة

الخطوة ١حساب det(A) = ad − bc

الخطوة ٢تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر

الخطوة ٣القسمة على المحددة

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

٣مثال — الخطوة ١: المحددة

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

\det(A) = ad - bc

= (3)(4) - (2)(1)

= 12 - 2 = 10

المحددة = 10

٤الخطوة ٢: تبديل وتغيير العناصر

— القطر الرئيسي (3 و 4): نبدّل مواضعهما فقط.
— القطر الآخر (2 و 1): نغيّر إشاراتهما فقط.

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

3 و 4 تبدّلا مواضعهما — 2 أصبحت −2 و 1 أصبحت −1

٥الخطوة ٣: القسمة على المحددة

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \tfrac{4}{10} & \tfrac{-2}{10} \\ \tfrac{-1}{10} & \tfrac{3}{10} \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

A⁻¹ = [[ 0.4 ، −0.2 ] ، [ −0.1 ، 0.3 ]]

٦التحقق من صحة النظير الضربي

— نضرب A × A⁻¹ ونتحقق أن النتيجة مصفوفة الوحدة I.

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

العنصر (1,1):

3(0.4)+2(-0.1) = 1.2-0.2 = 1

العنصر (1,2):

3(-0.2)+2(0.3) = -0.6+0.6 = 0

العنصر (2,1):

1(0.4)+4(-0.1) = 0.4-0.4 = 0

العنصر (2,2):

1(-0.2)+4(0.3) = -0.2+1.2 = 1

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark

تم التحقق — حاصل الضرب يساوي مصفوفة الوحدة ✓

٧ملخص

الخطوة	العملية
١ — المحددة	det(A) = ad − bc
٢ — التبديل والتغيير	تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر
٣ — القسمة	× (1 / det(A))
التحقق	A × A⁻¹ = I
شرط الوجود	المحددة ≠ 0، وإلا لا يوجد نظير

٨الخلاصة

— النظير الضربي: مصفوفة عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة I.
— الرمز A⁻¹ هو رمز خاص وليس أساً حسابياً.
— الخطوات: المحددة ← التبديل والتغيير ← القسمة على المحددة.
— شرط الوجود: المحددة يجب أن تكون مختلفة عن الصفر.
— التحقق: دائماً تحقّق بحساب حاصل الضرب والتأكد أنه يساوي مصفوفة الوحدة.

حل بالخطوات

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

مثال بمحددة سالبة

مثال على مصفوفة ليس لها نظير ضربي

مثال بأعداد عشرية

التحقق من النظير الضربي

مثال عملي: حل نظام بالنظير الضربي

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...