مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة) - النقاط الأساسية

1️⃣ فهوم العنصر المحايد في الضرب

2️⃣ تعريف مصفوفة الوحدة وخصائصها

3️⃣ بناء مصفوفات الوحدة بأحجام مختلفة

4️⃣ ضرب المصفوفات في مصفوفة الوحدة

5️⃣ التحقق من الخاصية المحايدة عملياً

1️⃣ العنصر المحايد في الضرب

في عملية الضرب العادية، العنصر المحايد هو الرقم 1. لأن أي عدد نضربه في الرقم 1 يعطي نفس العدد الأصلي.

a \times 1 = 1 \times a = a

خاصية العنصر المحايد في الأعداد

أمثلة على العنصر المحايد:

5 \times 1 = 5

(-3) \times 1 = -3

\frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}

1 \times 100 = 100

2️⃣ مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

في عالم المصفوفات أيضاً عندنا مصفوفة محايدة تُسمى مصفوفة الوحدة. عندما نضرب أي مصفوفة بمصفوفة الوحدة، نحصل على نفس المصفوفة الأصلية.

تعريف مصفوفة الوحدة

مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي:
• عناصر قطرها الرئيسي = 1
• جميع العناصر الأخرى = 0
• مربعة الشكل (n×n)

3️⃣ أمثلة على مصفوفات الوحدة

مصفوفة الوحدة تكون مربعة دائماً، وعناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 والباقي أصفار:

أمثلة على مصفوفات الوحدة

مصفوفة الوحدة 2×2

I_2 = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{red}{1} \end{bmatrix}

القطر الرئيسي = 1 | العناصر الأخرى = 0

مصفوفة الوحدة 3×3

I_3 = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{red}{1} \end{bmatrix}

لاحظ أن القطر الرئيسي (من اليسار العلوي إلى اليمين السفلي) يحتوي على 1

مصفوفة الوحدة 4×4

I_4 = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{red}{1} \end{bmatrix}

4️⃣ ضرب المصفوفات في مصفوفة الوحدة

الخاصية المحايدة لمصفوفة الوحدة: عندما نضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة بنفس الرتبة، نحصل على المصفوفة الأصلية.

⚠️ شرط مهم:

لضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة، يجب أن تكونا بنفس الرتبة:
• مصفوفة 2×2 تُضرب في مصفوفة وحدة 2×2
• مصفوفة 3×3 تُضرب في مصفوفة وحدة 3×3
• وهكذا...

مثال عملي: ضرب مصفوفة 2×2 في مصفوفة الوحدة

المصفوفات المراد ضربها

المصفوفة A

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

مصفوفة الوحدة

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

خطوات الضرب خطوة بخطوة

الصف الأول × العمود الأول:

[a \quad b] \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a \times 1 + b \times 0 = a

الصف الأول × العمود الثاني:

[a \quad b] \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = a \times 0 + b \times 1 = b

الصف الثاني × العمود الأول:

[c \quad d] \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = c \times 1 + d \times 0 = c

الصف الثاني × العمود الثاني:

[c \quad d] \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c \times 0 + d \times 1 = d

النتيجة النهائية

A \times I_2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = A

نحصل على نفس المصفوفة الأصلية!

5️⃣ مثال عددي للتحقق

لنتحقق من الخاصية المحايدة بمثال عددي محدد:

مثال عددي: تحقق من الخاصية المحايدة

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix}

الحسابات التفصيلية

العنصر (1,1):

2 \times 1 + 3 \times 0 = 2

العنصر (1,2):

2 \times 0 + 3 \times 1 = 3

العنصر (2,1):

4 \times 1 + 5 \times 0 = 4

العنصر (2,2):

4 \times 0 + 5 \times 1 = 5

النتيجة النهائية

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

تم التحقق من الخاصية المحايدة! ✅

ملاحظة مهمة: مصفوفة الوحدة لها نفس تأثير الرقم 1 في الضرب العادي - فهي لا تغير المصفوفة الأصلية عند الضرب.

ملخص النقاط الأساسية

1️⃣ العنصر المحايد في الضرب هو 1 (a × 1 = a)

2️⃣ مصفوفة الوحدة هي المحايد في ضرب المصفوفات

3️⃣ القطر الرئيسي = 1، باقي العناصر = 0

4️⃣ A × I = I × A = A (لنفس الرتبة)

5️⃣ شرط الضرب: نفس الرتبة للمصفوفتين

مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)