النظير الضربي للمصفوفات

النظير الضربي للمصفوفات 2×2 - النقاط الأساسية

1️⃣ حساب محددة المصفوفة (الخطوة الأولى)

2️⃣ تبديل وتغيير إشارات العناصر (الخطوة الثانية)

3️⃣ القسمة على المحددة (الخطوة الثالثة)

4️⃣ رمز النظير الضربي A⁻¹

5️⃣ التحقق من الخاصية: A × A⁻¹ = I

ملخص النقاط الأساسية

1️⃣ الخطوة الأولى: حساب المحددة (ad - bc)

2️⃣ الخطوة الثانية: تبديل القطر الرئيسي وتغيير إشارات القطر الآخر

3️⃣ الخطوة الثالثة: قسمة المصفوفة الناتجة على المحددة

4️⃣ الرمز A⁻¹ ليس أساً بل رمز خاص للنظير الضربي

5️⃣ التحقق: A × A⁻¹ = I (مصفوفة الوحدة)

1️⃣ مفهوم النظير الضربي

النظير الضربي للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في المصفوفة الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة. إنه مشابه للنظير الضربي في الأعداد حيث أن a × (1/a) = 1.

A \times A^{-1} = I

خاصية النظير الضربي الأساسية

🔤 رمز النظير الضربي:

A^{-1}

⚠️ تنبيه مهم:

الرمز -1 في A⁻¹ ليس أساً حقيقياً، بل هو رمز خاص يدل على النظير الضربي فقط.

2️⃣ الخطوات الثلاث لإيجاد النظير الضربي

لإيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2، نتبع ثلاث خطوات محددة وواضحة:

الخطوات الثلاث للنظير الضربي

الخطوة 1: حساب محددة المصفوفة (det A)

الخطوة 2: تبديل القطر الرئيسي وتغيير إشارات القطر الآخر

تكوين المصفوفة المساعدة

الخطوة 3: قسمة المصفوفة المساعدة على المحددة

3️⃣ مثال شامل: تطبيق الخطوات الثلاث

لنطبق الخطوات الثلاث على مصفوفة محددة:

مثال: إيجاد النظير الضربي

المصفوفة المعطاة

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

\text{مثال محدد: } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

1 حساب المحددة

قاعدة حساب المحددة 2×2:

\det(A) = ad - bc

مضروب القطر الرئيسي - مضروب القطر الآخر

التطبيق على مثالنا:

\det(A) = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10

المحددة = 10

2 تبديل وتغيير العناصر

المصفوفة الأصلية

\begin{bmatrix} \color{blue}{3} & \color{red}{2} \\ \color{red}{1} & \color{blue}{4} \end{bmatrix}

القطر الرئيسي

القطر الآخر

→

بعد التبديل والتغيير

\begin{bmatrix} \color{blue}{4} & \color{red}{-2} \\ \color{red}{-1} & \color{blue}{3} \end{bmatrix}

تبديل الأماكن

تغيير الإشارات

قواعد التبديل والتغيير:

🔄 القطر الرئيسي: نبدل المواضع فقط (3 ↔ 4)

➖ القطر الآخر: نغير الإشارات فقط (2 → -2، 1 → -1)

3 القسمة على المحددة

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

توزيع القسمة على كل عنصر:

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{10} & \frac{-2}{10} \\ \frac{-1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

النظير الضربي النهائي

A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

4️⃣ التحقق من النظير الضربي

فائدة النظير الضربي هي أن ضربه في المصفوفة الأصلية يعطي مصفوفة الوحدة. لنتحقق من ذلك:

التحقق: A × A⁻¹ = I

ضرب المصفوفة في نظيرها الضربي

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

حساب كل عنصر

العنصر (1,1):

3 \times 0.4 + 2 \times (-0.1)

= 1.2 - 0.2 = 1

العنصر (1,2):

3 \times (-0.2) + 2 \times 0.3

= -0.6 + 0.6 = 0

العنصر (2,1):

1 \times 0.4 + 4 \times (-0.1)

= 0.4 - 0.4 = 0

العنصر (2,2):

1 \times (-0.2) + 4 \times 0.3

= -0.2 + 1.2 = 1

النتيجة النهائية

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

تم التحقق من صحة النظير الضربي! ✅

5️⃣ الصيغة العامة للنظير الضربي

يمكن كتابة الصيغة العامة للنظير الضربي لمصفوفة 2×2:

📐 الصيغة العامة

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

حيث:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

والمحددة

\det(A) = ad - bc \neq 0

⚠️ شرط مهم:

النظير الضربي موجود فقط إذا كانت المحددة ≠ 0. إذا كانت المحددة = 0، فالمصفوفة ليس لها نظير ضربي.

الخلاصة: النظير الضربي للمصفوفة يلعب نفس دور النظير الضربي في الأعداد، حيث أن ضرب العدد في نظيره الضربي يعطي 1، وضرب المصفوفة في نظيرها الضربي يعطي مصفوفة الوحدة I.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...