حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

اختبر فهمك

اختبار: حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفات

1
ما هو الغرض من استخدام النظير الضربي للمصفوفات في حل الأنظمة الخطية؟

أسئلة متوقعة

1

حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي للمصفوفات:

x + y = 100
1.5x + 1.45y = 149

طريقة الحل

✅تحويل النظام إلى صيغة مصفوفية AX = B

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{pmatrix}، X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}، B = \begin{pmatrix} 100 \\ 149 \end{pmatrix}
حيث A مصفوفة المعاملات، X مصفوفة المتغيرات، B مصفوفة النواتج

✅حساب محدد المصفوفة det(A)

\det(A) = (1)(1.45) - (1)(1.5)
\det(A) = 1.45 - 1.5 = -0.05
بما أن المحدد ≠ 0، إذن النظير الضربي موجود

✅حساب النظير الضربي A^{-1}

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{-0.05} \times \begin{pmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{pmatrix}
A^{-1} = -20 \times \begin{pmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{pmatrix}

✅حل النظام باستخدام X = A^{-1}B

X = \begin{pmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 100 \\ 149 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-29)(100) + (20)(149) \\ (30)(100) + (-20)(149) \end{pmatrix}
X = \begin{pmatrix} -2900 + 2980 \\ 3000 - 2980 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \end{pmatrix}

✅التحقق من الحل

المعادلة الأولى: 80 + 20 = 100 ✓
المعادلة الثانية: 1.5(80) + 1.45(20) = 120 + 29 = 149 ✓
النتيجة النهائية: x = 80، y = 20
2

حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي:

2x + 3y = 13
x - y = 1

طريقة الحل

✅كتابة النظام في صيغة مصفوفية

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix}

✅حساب المحدد

\det(A) = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5

✅حساب النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{-5} \times \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.6 \\ 0.2 & -0.4 \end{pmatrix}

✅حل النظام

X = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.6 \\ 0.2 & -0.4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0.2)(13) + (0.6)(1) \\ (0.2)(13) + (-0.4)(1) \end{pmatrix}
X = \begin{pmatrix} 2.6 + 0.6 \\ 2.6 - 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.2 \\ 2.2 \end{pmatrix}

✅التحقق من الحل

المعادلة الأولى: 2(3.2) + 3(2.2) = 6.4 + 6.6 = 13 ✓
المعادلة الثانية: 3.2 - 2.2 = 1 ✓
النتيجة النهائية: x = 3.2، y = 2.2
3

حل النظام التالي وتحقق من صحة الإجابة:

3x + 2y = 16
x + 4y = 18

طريقة الحل

✅الصيغة المصفوفية

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ 18 \end{pmatrix}

✅حساب المحدد

\det(A) = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10

✅النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{10} \times \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{pmatrix}

✅الحل

X = \begin{pmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 16 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0.4)(16) + (-0.2)(18) \\ (-0.1)(16) + (0.3)(18) \end{pmatrix}
X = \begin{pmatrix} 6.4 - 3.6 \\ -1.6 + 5.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.8 \\ 3.8 \end{pmatrix}

✅التحقق من الحل

المعادلة الأولى: 3(2.8) + 2(3.8) = 8.4 + 7.6 = 16 ✓
المعادلة الثانية: 2.8 + 4(3.8) = 2.8 + 15.2 = 18 ✓
النتيجة النهائية: x = 2.8، y = 3.8

ملخص الخطوات الأساسية

1️⃣ تحويل النظام إلى الصيغة المصفوفية AX = B
2️⃣ حساب محدد مصفوفة المعاملات det(A)
3️⃣ التأكد من أن det(A) ≠ 0
4️⃣ حساب النظير الضربي A⁻¹
5️⃣ حل النظام باستخدام X = A⁻¹B
6️⃣ التحقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلات الأصلية

الشرح

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي - النمط المدمج حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي - النمط المدمج

ملخص الدرس

الموضوع: حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفات

المثال: حل النظام x + y = 100 و 1.5x + 1.45y = 149

الطريقة: تحويل النظام إلى الشكل AX = B ثم تطبيق X = A⁻¹B

النتيجة: x = 80, y = 20

المفهوم

استخدام النظير الضربي للمصفوفات لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة دقيقة وسريعة.

الهدف: تحويل النظام إلى AX = B ثم حل X = A⁻¹B

المثال

x + y = 100
1.5x + 1.45y = 149

نريد إيجاد قيم x و y

خطوات الحل السريعة

1
تحويل إلى شكل مصفوفي
[1 1 ] [x] [100]
[1.5 1.45] [y] = [149]

A: مصفوفة المعاملات، X: المتغيرات، B: النتائج

2
حساب A⁻¹
det(A) = (1)(1.45) - (1)(1.5) = -0.05
A⁻¹ = 1/(-0.05) × [1.45 -1; -1.5 1]
A⁻¹ = [-29 20; 30 -20]
3
X = A⁻¹B
x = (-29)(100) + (20)(149) = 80
y = (30)(100) + (-20)(149) = 20
x = 80, y = 20
4
التحقق
✓ المعادلة الأولى: 80 + 20 = 100 ✓
✓ المعادلة الثانية: 1.5(80) + 1.45(20) = 149 ✓

المنهجية العامة

AX = B
X = A^{-1}B
نستبدل القسمة على A بالضرب في A⁻¹

الخلاصة

  • حول النظام إلى AX = B
  • احسب النظير الضربي A⁻¹
  • اضرب A⁻¹ × B
  • تحقق من النتيجة

نصائح مهمة:

  • تأكد من أن المحدد ≠ 0
  • استخدم آلة حاسبة للدقة
  • تحقق دائماً من النتيجة
  • الطريقة تعمل مع أنظمة أكبر

حل بالخطوات

1
حول النظام التالي إلى صيغة مصفوفية:
\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}
2
احسب محدد المصفوفة:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
3
أوجد النظير الضربي للمصفوفة:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
4
حل النظام باستخدام النظير الضربي:
\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}
5
حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي:
\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}
6
تحقق من صحة الحل للنظام:
\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 18 \end{cases}
إذا كان
x = 2، y = 5

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
565
الدرس التالي
أول ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...