حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

اختبر فهمك

1

ما هي الطرق الثلاث المستخدمة لحل نظام المعادلات في هذا الدرس؟

أسئلة متوقعة

حل نظام المعادلات بالطرق الثلاث — مسائل محلولة

الرياضيات — الجبر الخطي

١ أوجد x و y بالطرق الثلاث

3x + 2y = 12 \qquad x - y = 1

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الثانية نستخرج x:

x - y = 1 \implies x = y + 1

التعويض في الأولى:

3(y+1) + 2y = 12 \implies 5y = 9 \implies y = \frac{9}{5}

إيجاد x:

x = y + 1 = \frac{9}{5} + 1 = \frac{14}{5}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3(-1)-2(1) = -5

D_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -14 \implies x = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}

D_y = \begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -9 \implies y = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \tfrac{14}{5} \\ \tfrac{9}{5} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \dfrac{14}{5}

،

y = \dfrac{9}{5}

٢ أوجد x و y بالطرق الثلاث

2x - 3y = 1 \qquad 4x + y = 11

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الثانية نستخرج y:

4x + y = 11 \implies y = 11 - 4x

التعويض في الأولى:

2x - 3(11-4x) = 1 \implies 14x = 34 \implies x = \frac{17}{7}

إيجاد y:

y = 11 - 4\!\cdot\!\frac{17}{7} = \frac{9}{7}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1)-(-3)(4) = 14

D_x = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 11 & 1 \end{vmatrix} = 34 \implies x = \frac{34}{14} = \frac{17}{7}

D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 11 \end{vmatrix} = 18 \implies y = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \tfrac{17}{7} \\ \tfrac{9}{7} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \dfrac{17}{7}

،

y = \dfrac{9}{7}

٣ أوجد x و y بالطرق الثلاث

5x + 2y = 19 \qquad 3x - 4y = -1

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الأولى نستخرج y:

5x + 2y = 19 \implies y = \frac{19 - 5x}{2}

التعويض في الثانية:

3x - 4\!\cdot\!\frac{19-5x}{2} = -1 \implies 13x = 37 \implies x = \frac{37}{13}

إيجاد y:

y = \frac{19 - 5 \cdot \tfrac{37}{13}}{2} = \frac{31}{13}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = 5(-4)-2(3) = -26

D_x = \begin{vmatrix} 19 & 2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = -74 \implies x = \frac{-74}{-26} = \frac{37}{13}

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 19 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -62 \implies y = \frac{-62}{-26} = \frac{31}{13}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ -1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-26} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \tfrac{37}{13} \\ \tfrac{31}{13} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \dfrac{37}{13}

،

y = \dfrac{31}{13}

الشرح

حل نظام المعادلات بثلاث طرق

الرياضيات — الجبر الخطي

الطريقة ١

التعويض التقليدي

الطريقة ٢

قاعدة كريمر

الطريقة ٣

النظير الضربي

i ملخص الدرس

الموضوع حل نظام المعادلات بثلاث طرق مختلفة

الطرق التعويض التقليدي، قاعدة كريمر، النظير الضربي

الهدف مقارنة فعالية الطرق المختلفة

2x + 3y = 8 \qquad 4x + 5y = 14

النظام المستخدم في الأمثلة الثلاثة

١ التعويض التقليدي

الخطوة ١ — حل المعادلة الأولى لـ y:

3y = 8 - 2x \implies y = \frac{8 - 2x}{3}

الخطوة ٢ — التعويض في الثانية:

4x + 5\left(\frac{8-2x}{3}\right) = 14 \implies x = 1

الخطوة ٣ — إيجاد y:

y = \frac{8 - 2(1)}{3} = \frac{6}{3} = 2

x = 1 ، y = 2

٢ قاعدة كريمر

الخطوة ١ — حساب المحدد D:

D = (2)(5) - (3)(4) = 10 - 12 = -2

الخطوة ٢ — محدد x:

D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 14 & 5 \end{vmatrix} = (8)(5)-(3)(14) = 40-42 = -2

الخطوة ٣ — محدد y:

D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 14 \end{vmatrix} = (2)(14)-(8)(4) = 28-32 = -4

الخطوة ٤ — إيجاد الحلول:

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1 \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2

x = 1 ، y = 2

٣ النظير الضربي للمصفوفات

AX = B \implies X = A^{-1}B

الصيغة المصفوفية

الخطوة ١ — كتابة المصفوفات:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 8 \\ 14 \end{bmatrix}

الخطوة ٢ — حساب النظير:

A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — ضرب في B:

X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

x = 1 ، y = 2

٤ مقارنة الطرق الثلاث

التعويض التقليدي

✅ بسيط ومباشر
✅ لا يتطلب حفظ قوانين
❌ قد يصبح معقداً

قاعدة كريمر

✅ منهجي ودقيق
✅ مناسب للبرمجة
❌ يتطلب حساب محددات

النظير الضربي

✅ فعال للأنظمة الكبيرة
✅ يمكن إعادة استخدامه
❌ يتطلب حساب النظير

✅ جميع الطرق تعطي نفس النتيجة: x = 1 ، y = 2

٥ نصائح مهمة

— تحقق دائماً من النتائج بالتعويض في المعادلة الأصلية.
— تأكد من أن المحدد ≠ 0 قبل تطبيق قاعدة كريمر أو النظير.
— التعويض أسرع للأنظمة البسيطة ذات المعاملات الصغيرة.
— النظير الضربي مفيد للأنظمة الكبيرة أو المتكررة.
— قاعدة كريمر مناسبة للتطبيقات البرمجية والمنهجية.
— استخدم الآلة الحاسبة للعمليات المعقدة لتجنب أخطاء الحساب.

حل بالخطوات

1

حل النظام بالطرق الثلاث: 2x + 3y = 8, 4x + 5y = 14

2

حل النظام: x + 2y = 7, 3x - y = 4

3

مقارنة الطرق: x - y = 2, 2x + y = 7

4

حالة خاصة: نظام بلا حل وحيد

5

نظام ثلاثي: مقارنة الطرق

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...