حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

ملخص الدرس

الموضوع: حل نظام المعادلات بثلاث طرق مختلفة

الطرق: التعويض التقليدي، قاعدة كريمر، النظير الضربي

الهدف: مقارنة فعالية الطرق المختلفة

1 التعويض التقليدي

المثال:

2x + 3y = 8

4x + 5y = 14

حل المعادلة الأولى لـ y

3y = 8 - 2x \rightarrow y = \frac{8 - 2x}{3}

التعويض في الثانية

4x + 5\left(\frac{8-2x}{3}\right) = 14 \rightarrow x = 1

النتيجة:

x = 1, y = 2

2 قاعدة كريمر

نفس المثال:

2x + 3y = 8

4x + 5y = 14

حساب المحدد D

D = (2)(5) - (3)(4) = -2

تطبيق كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2

النتيجة:

x = 1, y = 2

3 النظير الضربي للمصفوفات

الصيغة المصفوفية:

AX = B

حيث

X = A^{-1}B

الخطوة 1

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 8 \\ 14 \end{bmatrix}

الخطوة 2

A^{-1} = \frac{1}{-2} \times \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة 3

X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

النتيجة:

x = 1, y = 2

مقارنة الطرق الثلاث

التعويض التقليدي

✅ بسيط ومباشر

✅ لا يتطلب حفظ قوانين

❌ قد يصبح معقداً

قاعدة كريمر

✅ منهجي ودقيق

✅ مناسب للبرمجة

❌ يتطلب حساب محددات

النظير الضربي

✅ فعال للأنظمة الكبيرة

✅ يمكن إعادة استخدامه

❌ يتطلب حساب النظير

✅ جميع الطرق تعطي نفس النتيجة:

x = 1, y = 2

نصائح مهمة:

• تحقق دائماً من النتائج بالتعويض

• تأكد من أن المحدد ≠ 0 لقاعدة كريمر

• استخدم الآلة الحاسبة للعمليات المعقدة

• التعويض أسرع للأنظمة البسيطة

• النظير الضربي مفيد للأنظمة الكبيرة

• قاعدة كريمر مناسبة للبرمجة

حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

ملخص الدرس

1 التعويض التقليدي

2 قاعدة كريمر

3 النظير الضربي للمصفوفات

مقارنة الطرق الثلاث

التعويض التقليدي

قاعدة كريمر

النظير الضربي

نصائح مهمة:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات