حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

اختبر فهمك

اختبار: حل نظام المعادلات بثلاث طرق مختلفة

1

ما هي الطرق الثلاث المستخدمة لحل نظام المعادلات في هذا الدرس؟

أسئلة متوقعة

1

أوجد قيم x و y باستخدام الطرق الثلاث:

3x + 2y = 12

x - y = 1

الحل بالطرق الثلاث

الطريقة الأولى: التعويض التقليدي

✅من المعادلة الثانية نستخرج قيمة x

x - y = 1

←

x = y + 1

✅التعويض في المعادلة الأولى

3(y + 1) + 2y = 12

3y + 3 + 2y = 12

5y = 9

←

y = \frac{9}{5}

✅إيجاد قيمة x

x = y + 1 = \frac{9}{5} + 1 = \frac{14}{5}

الطريقة الثانية: قاعدة كريمر

✅تكوين المصفوفة الرئيسية

D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3(-1) - 2(1) = -5

✅حساب x باستخدام $D_x$

D_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 12(-1) - 2(1) = -14

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}

✅حساب y باستخدام $D_y$

D_y = \begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 12(1) = -9

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}

الطريقة الثالثة: النظير الضربي (المصفوفة العكسية)

✅كتابة النظام في صيغة مصفوفية

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}

✅إيجاد النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix}

✅إيجاد الحل

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{9}{5} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \frac{14}{5}

،

y = \frac{9}{5}

2

أوجد قيم x و y باستخدام الطرق الثلاث:

2x - 3y = 1

4x + y = 11

الحل بالطرق الثلاث

الطريقة الأولى: التعويض التقليدي

✅من المعادلة الثانية نستخرج قيمة y

4x + y = 11

←

y = 11 - 4x

✅التعويض في المعادلة الأولى

2x - 3(11 - 4x) = 1

2x - 33 + 12x = 1

14x = 34

←

x = \frac{17}{7}

✅إيجاد قيمة y

y = 11 - 4(\frac{17}{7}) = 11 - \frac{68}{7} = \frac{9}{7}

الطريقة الثانية: قاعدة كريمر

✅تكوين المصفوفة الرئيسية

D = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - (-3)(4) = 14

✅حساب x باستخدام $D_x$

D_x = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 11 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - (-3)(11) = 34

x = \frac{D_x}{D} = \frac{34}{14} = \frac{17}{7}

✅حساب y باستخدام $D_y$

D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 11 \end{vmatrix} = 2(11) - 1(4) = 18

y = \frac{D_y}{D} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}

الطريقة الثالثة: النظير الضربي (المصفوفة العكسية)

✅كتابة النظام في صيغة مصفوفية

\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix}

✅إيجاد النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{14} & \frac{3}{14} \\ -\frac{2}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}

✅إيجاد الحل

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{14} & \frac{3}{14} \\ -\frac{2}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{17}{7} \\ \frac{9}{7} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \frac{17}{7}

،

y = \frac{9}{7}

3

أوجد قيم x و y باستخدام الطرق الثلاث:

5x + 2y = 19

3x - 4y = -1

الحل بالطرق الثلاث

الطريقة الأولى: التعويض التقليدي

✅من المعادلة الأولى نستخرج قيمة y

5x + 2y = 19

←

y = \frac{19 - 5x}{2}

✅التعويض في المعادلة الثانية

3x - 4(\frac{19 - 5x}{2}) = -1

3x - 2(19 - 5x) = -1

3x - 38 + 10x = -1

13x = 37

←

x = \frac{37}{13}

✅إيجاد قيمة y

y = \frac{19 - 5(\frac{37}{13})}{2} = \frac{19 - \frac{185}{13}}{2} = \frac{62}{26} = \frac{31}{13}

الطريقة الثانية: قاعدة كريمر

✅تكوين المصفوفة الرئيسية

D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = 5(-4) - 2(3) = -26

✅حساب x باستخدام $D_x$

D_x = \begin{vmatrix} 19 & 2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 19(-4) - 2(-1) = -74

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-74}{-26} = \frac{37}{13}

✅حساب y باستخدام $D_y$

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 19 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 19(3) = -62

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-62}{-26} = \frac{31}{13}

الطريقة الثالثة: النظير الضربي (المصفوفة العكسية)

✅كتابة النظام في صيغة مصفوفية

\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ -1 \end{pmatrix}

✅إيجاد النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{-26} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{13} & \frac{1}{13} \\ \frac{3}{26} & -\frac{5}{26} \end{pmatrix}

✅إيجاد الحل

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{13} & \frac{1}{13} \\ \frac{3}{26} & -\frac{5}{26} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 19 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{37}{13} \\ \frac{31}{13} \end{pmatrix}

الإجابة النهائية:

x = \frac{37}{13}

،

y = \frac{31}{13}

الشرح

ملخص الدرس

الموضوع: حل نظام المعادلات بثلاث طرق مختلفة

الطرق: التعويض التقليدي، قاعدة كريمر، النظير الضربي

الهدف: مقارنة فعالية الطرق المختلفة

1 التعويض التقليدي

المثال:

2x + 3y = 8

,

4x + 5y = 14

1

حل المعادلة الأولى لـ y

3y = 8 - 2x \rightarrow y = \frac{8 - 2x}{3}

2

التعويض في الثانية

4x + 5\left(\frac{8-2x}{3}\right) = 14 \rightarrow x = 1

النتيجة:

x = 1, y = 2

2 قاعدة كريمر

نفس المثال:

2x + 3y = 8

,

4x + 5y = 14

1

حساب المحدد D

D = (2)(5) - (3)(4) = -2

2

تطبيق كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2

النتيجة:

x = 1, y = 2

3 النظير الضربي للمصفوفات

الصيغة المصفوفية:

AX = B

حيث

X = A^{-1}B

الخطوة 1

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 8 \\ 14 \end{bmatrix}

الخطوة 2

A^{-1} = \frac{1}{-2} \times \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة 3

X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

النتيجة:

x = 1, y = 2

مقارنة الطرق الثلاث

التعويض التقليدي

✅ بسيط ومباشر

✅ لا يتطلب حفظ قوانين

❌ قد يصبح معقداً

قاعدة كريمر

✅ منهجي ودقيق

✅ مناسب للبرمجة

❌ يتطلب حساب محددات

النظير الضربي

✅ فعال للأنظمة الكبيرة

✅ يمكن إعادة استخدامه

❌ يتطلب حساب النظير

✅ جميع الطرق تعطي نفس النتيجة:

x = 1, y = 2

نصائح مهمة:

• تحقق دائماً من النتائج بالتعويض

• تأكد من أن المحدد ≠ 0 لقاعدة كريمر

• استخدم الآلة الحاسبة للعمليات المعقدة

• التعويض أسرع للأنظمة البسيطة

• النظير الضربي مفيد للأنظمة الكبيرة

• قاعدة كريمر مناسبة للبرمجة

حل بالخطوات

1

حل النظام بالطرق الثلاث: 2x + 3y = 8, 4x + 5y = 14

2

حل النظام: x + 2y = 7, 3x - y = 4

3

مقارنة الطرق: x - y = 2, 2x + y = 7

4

حالة خاصة: نظام بلا حل وحيد

5

نظام ثلاثي: مقارنة الطرق

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...