قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات

اختبر فهمك

1
ما هو الشرط الأساسي لتطبيق طريقة كريمر على نظام ثلاثي؟

أسئلة متوقعة

تمارين طريقة كريمر الثلاثية

الرياضيات — الوحدة الأولى

مسألة أ
حلول كسرية
مسألة ب
x=−4، y=5، z=−1
أمسألة أ — نظام ثلاثي
3x + 5y + 2z = -7
-4x + 3y - 5z = -19
5x + 4y - 7z = -15
الخطوة ١ — محددة المعاملات D:
D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2 \\ -4 & 3 & -5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}
= 3(-1) - 5(53) + 2(-31)
= -3 - 265 - 62 = -330
الخطوة ٢ — المحددات المساعدة:
D_x = \begin{vmatrix} -7 & 5 & 2 \\ -19 & 3 & -5 \\ -15 & 4 & -7 \end{vmatrix} = -345
D_y = \begin{vmatrix} 3 & -7 & 2 \\ -4 & -19 & -5 \\ 5 & -15 & -7 \end{vmatrix} = 855
D_z = \begin{vmatrix} 3 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -19 \\ 5 & 4 & -15 \end{vmatrix} = -465
الخطوة ٣ — تطبيق قانون كريمر:
x = \frac{-345}{-330} = \frac{23}{22}
y = \frac{855}{-330} = -\frac{57}{22}
z = \frac{-465}{-330} = \frac{31}{22}
— هذا النظام له حلول كسرية — صحيح رياضياً لكن قد يحتاج مراجعة أرقام المسألة الأصلية.
الحلول كسرية — D = −330
بمسألة ب — نظام ثلاثي
6x + 5y + 2z = -1
-x + 3y + 7z = 12
5x - 7y - 3z = -52
الخطوة ١ — محددة المعاملات D:
D = \begin{vmatrix} 6 & 5 & 2 \\ -1 & 3 & 7 \\ 5 & -7 & -3 \end{vmatrix}
= 6(40) - 5(-32) + 2(-8)
= 240 + 160 - 16 = 384
— D = 384 ≠ 0 — يمكن تطبيق طريقة كريمر.
الخطوة ٢ — حساب Dx (استبدل عمود x بالثوابت):
D_x = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 2 \\ 12 & 3 & 7 \\ -52 & -7 & -3 \end{vmatrix}
= -1(40) - 5(328) + 2(72)
= -40 - 1640 + 144 = -1536
الخطوة ٣ — حساب Dy (استبدل عمود y بالثوابت):
D_y = \begin{vmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -1 & 12 & 7 \\ 5 & -52 & -3 \end{vmatrix}
= 1920
الخطوة ٤ — حساب Dz (استبدل عمود z بالثوابت):
D_z = \begin{vmatrix} 6 & 5 & -1 \\ -1 & 3 & 12 \\ 5 & -7 & -52 \end{vmatrix}
= -384
الخطوة ٥ — تطبيق قانون كريمر:
x = \frac{-1536}{384} = -4
y = \frac{1920}{384} = 5
z = \frac{-384}{384} = -1
الخطوة ٦ — التحقق:
6(-4)+5(5)+2(-1)
= -24+25-2 = -1 \checkmark
-(-4)+3(5)+7(-1)
= 4+15-7 = 12 \checkmark
5(-4)-7(5)-3(-1)
= -20-35+3 = -52 \checkmark
x = −4  |  y = 5  |  z = −1
جدولملخص النتائج
المسألةDDxDyDzالحل
أ−330−345855−465حلول كسرية
ب384−15361920−384x=−4، y=5، z=−1
ملخصالخلاصة
— مسألة أ: الحلول كسرية — النظام صحيح لكن قد تحتاج أرقامه مراجعة.
— مسألة ب: حلول صحيحة x=−4، y=5، z=−1 تم التحقق منها في المعادلات الثلاث.
— التطوير: في كل محددة 3×3 نتبع نمط + − + بحسب الصف الأول.
— التحقق ضروري: عوّض في المعادلات الثلاث بعد الحل للتأكد.

الشرح

طريقة كريمر — نظام ثلاث معادلات

الرياضيات — الوحدة الأولى

أربع محددات
D, Dx, Dy, Dz
الشرط
D ≠ 0
القانون
x=Dx/D, y=Dy/D, z=Dz/D
١مقدمة — الأنظمة الثلاثية
— ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل ← مصفوفة معاملات 3×3.
— طريقة كريمر تتطلب: عدد المعادلات = عدد المتغيرات.
— نحتاج أربع محددات: D و Dx و Dy و Dz.
شكل النظام الثلاثي:
a_1x + b_1y + c_1z = d_1
a_2x + b_2y + c_2z = d_2
a_3x + b_3y + c_3z = d_3
x = Dx/D   y = Dy/D   z = Dz/D
٢بناء المصفوفات المساعدة
مصفوفة Dمعاملات المتغيرات كما هي
مصفوفة Dxاستبدل عمود x بعمود الثوابت
مصفوفة Dyاستبدل عمود y بعمود الثوابت
مصفوفة Dzاستبدل عمود z بعمود الثوابت
— في كل مصفوفة مساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب فقط، وابقِ بقية الأعمدة كما هي.
٣مثال تطبيقي شامل
4x + 5y - 6z = -14
3x - 2y + 7z = 47
7x - 6y - 8z = 15
الخطوة ١ — مصفوفة المعاملات ومحددتها D:
D = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -6 \\ 3 & -2 & 7 \\ 7 & -6 & -8 \end{vmatrix}
= 621
— D = 621 ≠ 0 — يمكن تطبيق طريقة كريمر.
الخطوة ٢ — حساب Dx (استبدل عمود x بالثوابت):
D_x = \begin{vmatrix} -14 & 5 & -6 \\ 47 & -2 & 7 \\ 15 & -6 & -8 \end{vmatrix}
= 3105
x = \frac{D_x}{D} = \frac{3105}{621} = 5
الخطوة ٣ — حساب Dy (استبدل عمود y بالثوابت):
D_y = \begin{vmatrix} 4 & -14 & -6 \\ 3 & 47 & 7 \\ 7 & 15 & -8 \end{vmatrix}
= -1242
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-1242}{621} = -2
الخطوة ٤ — حساب Dz (استبدل عمود z بالثوابت):
D_z = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -14 \\ 3 & -2 & 47 \\ 7 & -6 & 15 \end{vmatrix}
= 2484
z = \frac{D_z}{D} = \frac{2484}{621} = 4
x = 5  |  y = −2  |  z = 4
٤مميزات طريقة كريمر
خوارزمية واضحةخطوات ثابتة قابلة للبرمجة
كل متغير مستقليُحسب بشكل منفصل
مناسبة للكبيرة4×4 و5×5 وأكبر
أقل عرضة للخطأالعمليات منتظمة ومتكررة
الطريقة مناسبة للبرمجة لخطواتها الثابتة
٥ملخص الخطوات
الخطوةالإجراءالرمز
١احسب محددة مصفوفة المعاملاتD
٢استبدل عمود x بالثوابت واحسبDx
٣استبدل عمود y بالثوابت واحسبDy
٤استبدل عمود z بالثوابت واحسبDz
٥x = Dx ÷ Dx
٦y = Dy ÷ Dy
٧z = Dz ÷ Dz
٦الخلاصة
— الأنظمة الثلاثية: تحتاج أربع محددات 3×3 بدلاً من اثنتين.
— المصفوفة المساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب بعمود الثوابت فقط.
— الشرط الأساسي: D ≠ 0 قبل البدء بأي خطوة.
— القانون: x=Dx/D، y=Dy/D، z=Dz/D — نفس قانون النظام الثنائي مع إضافة z.

حل بالخطوات

1
النظام 5A: 3x + 5y + 2z = -7, -4x + 3y - 5z = -19, 5x + 4y - 7z = -15
2
النظام 5B: 6x + 5y + 2z = -1, -x + 3y + 7z = 12, 5x - 7y - 3z = -52
3
مثال عام: نظام ثلاثي متجانس
4
حالة خاصة: نظام بمحددة صفر
5
تطبيق عملي: مسألة كلامية ثلاثية
6
نظام بمعاملات كسرية
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...