قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

اختبر فهمك

اختبار: طريقة كريمر لحل نظام المعادلات الخطية

1
ما هو الشرط الأساسي لتطبيق طريقة كريمر في حل نظام المعادلات؟

أسئلة متوقعة

المسألة 4A: حل النظام بطريقة كريمر

حل النظام التالي:

\begin{cases} 7x + 3y = 37 \\ -5x - 7y = -41 \end{cases}

1تكوين مصفوفة المعاملات

مصفوفة المعاملات:

A = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -5 & -7 \end{bmatrix}

نكوّن المصفوفة من معاملات المتغيرات x و y

2حساب محددة مصفوفة المعاملات D

D = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -5 & -7 \end{vmatrix}
D = (7)(-7) - (3)(-5) = -49 + 15 = -34

بما أن D ≠ 0، يمكن تطبيق طريقة كريمر

3حساب D_x

نستبدل عمود x بعمود الثوابت:

D_x = \begin{vmatrix} 37 & 3 \\ -41 & -7 \end{vmatrix}
D_x = (37)(-7) - (3)(-41) = -259 + 123 = -136

4حساب D_y

نستبدل عمود y بعمود الثوابت:

D_y = \begin{vmatrix} 7 & 37 \\ -5 & -41 \end{vmatrix}
D_y = (7)(-41) - (37)(-5) = -287 + 185 = -102

5تطبيق قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-136}{-34} = 4
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-102}{-34} = 3
الحل: x = 4, y = 3
التحقق:
7(4) + 3(3) = 28 + 9 = 37 \,\checkmark
-5(4) - 7(3) = -20 - 21 = -41 \,\checkmark
المسألة 4B: حل النظام بطريقة كريمر

حل النظام التالي:

\begin{cases} 8x - 5y = 70 \\ 9x + 7y = 3 \end{cases}

1تكوين مصفوفة المعاملات

مصفوفة المعاملات:

A = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ 9 & 7 \end{bmatrix}

2حساب محددة مصفوفة المعاملات D

D = \begin{vmatrix} 8 & -5 \\ 9 & 7 \end{vmatrix}
D = (8)(7) - (-5)(9) = 56 + 45 = 101

بما أن D ≠ 0، يمكن تطبيق طريقة كريمر

3حساب D_x

نستبدل عمود x بعمود الثوابت:

D_x = \begin{vmatrix} 70 & -5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}
D_x = (70)(7) - (-5)(3) = 490 + 15 = 505

4حساب D_y

نستبدل عمود y بعمود الثوابت:

D_y = \begin{vmatrix} 8 & 70 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}
D_y = (8)(3) - (70)(9) = 24 - 630 = -606

5تطبيق قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{505}{101} = 5
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-606}{101} = -6
الحل: x = 5, y = -6
التحقق:
8(5) - 5(-6) = 40 + 30 = 70 \,\checkmark
9(5) + 7(-6) = 45 - 42 = 3 \,\checkmark
ملخص الحلول

المسألة 4A

x = 4, \quad y = 3

النظام: 7x + 3y = 37, -5x - 7y = -41

المسألة 4B

x = 5, \quad y = -6

النظام: 8x - 5y = 70, 9x + 7y = 3

خطوات طريقة كريمر

1. تكوين مصفوفة المعاملات A وحساب محددتها D

2. حساب D_x باستبدال عمود x بعمود الثوابت

3. حساب D_y باستبدال عمود y بعمود الثوابت

4. تطبيق القانون: x = D_x/D, y = D_y/D

5. التحقق من الحل بالتعويض في المعادلات الأصلية

الشرح

طريقة كريمر لحل نظام المعادلات الخطية - النقاط الأساسية

1️⃣ فهم مصفوفة المعاملات وحساب محددتها
2️⃣ إنشاء المصفوفات المساعدة لكل متغير
3️⃣ تطبيق قانون كريمر لحساب قيم المتغيرات
4️⃣ التحقق من صحة الحل بالتعويض
5️⃣ معرفة شروط تطبيق طريقة كريمر

1️⃣ مقدمة عن طريقة كريمر

طريقة كريمر هي طريقة منتظمة وخوارزمية لحل نظام المعادلات الخطية تعتمد على حساب محددات المصفوفات. تتميز هذه الطريقة بأنها قابلة للبرمجة بسهولة ومناسبة للحوسبة.

\text{للنظام: } \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

الحل بطريقة كريمر يعطى بالصيغ التالية حيث D هي محددة مصفوفة المعاملات.

2️⃣ قانون كريمر

أساس طريقة كريمر يعتمد على حساب محددات المصفوفات المختلفة والقسمة عليها.

قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}
حيث D ≠ 0 ، وD هي محددة مصفوفة المعاملات

3️⃣ خطوات تطبيق طريقة كريمر

لحل نظام المعادلات بطريقة كريمر نتبع الخطوات المتسلسلة التالية:

خطوات الحل بطريقة كريمر
إنشاء مصفوفة المعاملات وحساب محددتها D
إنشاء المصفوفات المساعدة
استبدال أعمدة المتغيرات بعمود الثوابت
حساب محددات المصفوفات المساعدة
D_x, D_y, D_z, ...
تطبيق قانون كريمر لحساب قيم المتغيرات
ملاحظة: يجب أن تكون محددة مصفوفة المعاملات D ≠ 0 لضمان وجود حل وحيد للنظام.

4️⃣ مثال تطبيقي شامل

لنطبق طريقة كريمر على المثال المذكور في الصوت: حل النظام التالي

مثال: حل النظام

النظام المعطى:

\begin{cases} 5x - 6y = 15 \\ 3x + 4y = -29 \end{cases}

الخطوة 1: مصفوفة المعاملات ومحددتها

نكوّن مصفوفة المعاملات من معاملات x و y:

A = \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

حساب المحددة:

D = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (5)(4) - (-6)(3) = 20 + 18 = 38

الخطوة 2: حساب D_x

نستبدل عمود x بعمود الثوابت:

D_x = \begin{vmatrix} 15 & -6 \\ -29 & 4 \end{vmatrix}
D_x = (15)(4) - (-6)(-29) = 60 - 174 = -114

الخطوة 3: حساب D_y

نستبدل عمود y بعمود الثوابت:

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 15 \\ 3 & -29 \end{vmatrix}
D_y = (5)(-29) - (15)(3) = -145 - 45 = -190

الحل النهائي:

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-114}{38} = -3
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-190}{38} = -5
التحقق:
5(-3) - 6(-5) = -15 + 30 = 15 \,\checkmark
3(-3) + 4(-5) = -9 - 20 = -29 \,\checkmark

5️⃣ شروط وخصائص مهمة

هناك عدة شروط وخصائص مهمة يجب مراعاتها عند استخدام طريقة كريمر.

📋 شروط وقواعد مهمة

1️⃣ شرط الوجود: محددة مصفوفة المعاملات D ≠ 0

2️⃣ عدد المعادلات: يجب أن يساوي عدد المجاهيل

3️⃣ نوع النظام: مناسبة للأنظمة الخطية فقط

4️⃣ الحل الوحيد: تعطي حلاً وحيداً عندما D ≠ 0

5️⃣ الكفاءة الحاسوبية: مناسبة للبرمجة والخوارزميات

6️⃣ التحقق: يُنصح بالتحقق من الحل بالتعويض

ملخص النقاط الأساسية

1️⃣ طريقة كريمر تعتمد على محددات المصفوفات

2️⃣ تتطلب أن تكون محددة مصفوفة المعاملات غير صفر

3️⃣ نستبدل أعمدة المتغيرات بعمود الثوابت لحساب المحددات المساعدة

4️⃣ الحل يُحسب بقسمة المحددات المساعدة على محددة المعاملات

5️⃣ طريقة منتظمة ومناسبة للبرمجة والحوسبة

حل بالخطوات

1
حل النظام بطريقة كريمر: 5x - 6y = 15, 3x + 4y = -29
2
حل النظام: 2x + 3y = 7, 4x - y = 5
3
حل النظام: x - 2y = 4, 3x + y = 11
4
نظام ثلاثي: x + y + z = 6, 2x - y + z = 1, x + 2y - z = 3
5
حالة خاصة: x + 2y = 5, 2x + 4y = 10
6
تطبيق عملي: مسألة كلامية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
246
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...