مفهوم الدالة

في هذا الدرس سنتعرف على **الدالة**، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات، لأنها تستخدم لوصف العلاقة بين المتغيرات، وتعد الأساس الذي تُبنى عليه دراسة الدوال والتفاضل والتكامل.

ما هي الدالة؟

يمكن تعريف الدالة بأنها **علاقة بين متغيرين أو أكثر يحكمها شرط واحد فقط**.

ولفهم هذا التعريف، يجب أولًا معرفة معنى العلاقة، ثم التعرف على الشرط الذي يجعل العلاقة دالة.

ما المقصود بالعلاقة؟

العلاقة هي ارتباط بين متغيرين، بحيث يؤدي تغير أحدهما إلى تغير الآخر.

فعلى سبيل المثال، مساحة المربع تعتمد على طول ضلعه.

فكلما تغير طول الضلع، تغيرت مساحة المربع، ولذلك توجد علاقة بين طول الضلع والمساحة.

ومثال آخر هو العلاقة بين عمر الإنسان وطوله، حيث يتغير الطول مع تغير العمر.

إذن العلاقة تعني وجود متغير يؤثر في متغير آخر.

المتغير المستقل والمتغير التابع

في أي دالة يوجد نوعان من المتغيرات:

- **المتغير المستقل**، وهو المتغير الذي نختار قيمه أو نتحكم فيها. - **المتغير التابع**، وهو المتغير الذي تتحدد قيمته بناءً على المتغير المستقل.

فعلى سبيل المثال:

- في مساحة المربع يكون طول الضلع هو المتغير المستقل، بينما تكون المساحة هي المتغير التابع. - وفي حركة السيارة يكون الزمن هو المتغير المستقل، بينما تكون المسافة المقطوعة هي المتغير التابع.

الشرط الذي يجعل العلاقة دالة

ليس كل علاقة تعتبر دالة.

فالشرط الوحيد الذي يجب أن يتحقق هو:

**أن يقابل كل قيمة للمتغير المستقل قيمة واحدة فقط للمتغير التابع.**

أي أنه لا يجوز أن تعطي قيمة واحدة للمتغير المستقل أكثر من ناتج واحد.

وهذا هو الشرط الأساسي لتعريف الدالة.

مثال على الدالة

إذا كانت سيارة تسير بسرعة ثابتة، فإن المسافة تعتمد على الزمن.

فلكل زمن معين توجد مسافة واحدة فقط تقطعها السيارة.

فعند معرفة الزمن نستطيع تحديد مسافة واحدة فقط، ولذلك تمثل هذه العلاقة دالة.

هل يشترط أن تكون القيم مختلفة؟

لا.

ليس من الضروري أن تتغير قيمة المتغير التابع في كل مرة.

فقد تكون القيمة ثابتة، ومع ذلك تظل العلاقة دالة.

فعلى سبيل المثال، إذا كانت درجة حرارة الغرفة ثابتة طوال اليوم، فإن كل زمن يقابله قراءة واحدة فقط لدرجة الحرارة.

وكذلك إذا كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة، فإن كل لحظة زمنية تقابلها قيمة واحدة للسرعة.

إذن ثبات القيمة لا يمنع العلاقة من أن تكون دالة، ما دام لكل قيمة في المتغير المستقل ناتج واحد فقط.

متى لا تكون العلاقة دالة؟

لا تمثل العلاقة دالة إذا كانت قيمة واحدة للمتغير المستقل تعطي قيمتين أو أكثر للمتغير التابع.

فعلى سبيل المثال، إذا سألنا عن درجة الحرارة عند زمن معين، فظهرت قراءتان مختلفتان في الوقت نفسه، فإن العلاقة لا تمثل دالة.

ومن الأمثلة المشهورة أيضًا **الدائرة**.

فعند اختيار قيمة معينة على المحور الأفقي، نجد أنها تقطع الدائرة في نقطتين، أي توجد قيمتان مختلفتان للمحور الرأسي، ولذلك لا تمثل الدائرة دالة.

تمثيل الدالة على المستوى الإحداثي

عند رسم الدوال على المستوى الإحداثي يكون:

- المتغير المستقل على محور x. - المتغير التابع على محور y.

فعلى سبيل المثال:

- في علاقة طول ضلع المربع مع المساحة يكون طول الضلع على محور x، والمساحة على محور y. - في علاقة الزمن مع المسافة يكون الزمن على محور x، والمسافة على محور y. - في علاقة الزمن مع درجة الحرارة يكون الزمن على محور x، ودرجة الحرارة على محور y.

اختبار الخط الرأسي

من أسهل الطرق لمعرفة ما إذا كان الرسم يمثل دالة هو **اختبار الخط الرأسي**.

وتكون الفكرة بسيطة:

إذا رسمنا أي خط رأسي على الرسم البياني، وكان يقطع المنحنى في **نقطة واحدة فقط**، فإن العلاقة تمثل دالة.

أما إذا قطع الخط الرأسي المنحنى في **نقطتين أو أكثر**، فإن العلاقة لا تمثل دالة.

ويعد اختبار الخط الرأسي من أكثر الطرق استخدامًا للتأكد من أن الرسم البياني يمثل دالة.

ملخص الدرس

- الدالة هي علاقة تربط بين متغيرين بحيث يقابل كل قيمة للمتغير المستقل قيمة واحدة فقط للمتغير التابع. - العلاقة تعني ارتباط متغير بمتغير آخر بحيث يتغير أحدهما بتغير الآخر. - المتغير المستقل هو الذي نتحكم في قيمه، والمتغير التابع يعتمد عليه. - ليس من الضروري أن تتغير قيمة المتغير التابع حتى تكون العلاقة دالة، فقد تكون ثابتة. - إذا أعطت قيمة واحدة للمتغير المستقل أكثر من قيمة للمتغير التابع، فإن العلاقة لا تمثل دالة. - يستخدم اختبار الخط الرأسي للتأكد من أن الرسم البياني يمثل دالة.