حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

اختبر فهمك

1
ما هو الغرض من استخدام النظير الضربي للمصفوفات في حل الأنظمة الخطية؟

أسئلة متوقعة

حل أنظمة المعادلات بالنظير الضربي — مسائل محلولة

الرياضيات — المصفوفات

المسألة ١
x + y = 100
المسألة ٢
2x + 3y = 13
المسألة ٣
3x + 2y = 16
١ حل النظام الأول
x + y = 100
1.5x + 1.45y = 149
الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}
الخطوة ٢ — المحددة:
\det(A) = (1)(1.45)-(1)(1.5)
= 1.45 - 1.5 = -0.05
الخطوة ٣ — النظير الضربي:
A^{-1} = \frac{1}{-0.05} \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}
الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:
x
(-29)(100) + (20)(149)
= -2900 + 2980 = 80
y
(30)(100) + (-20)(149)
= 3000 - 2980 = 20
— التحقق: 80 + 20 = 100 ✓  |  1.5(80)+1.45(20) = 149 ✓
x = 80 ، y = 20
٢ حل النظام الثاني
2x + 3y = 13
x - y = 1
الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 13 \\ 1 \end{bmatrix}
الخطوة ٢ — المحددة:
\det(A) = (2)(-1)-(3)(1)
= -2 - 3 = -5
الخطوة ٣ — النظير الضربي:
A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0.2 & 0.6 \\ 0.2 & -0.4 \end{bmatrix}
الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:
x
(0.2)(13) + (0.6)(1)
= 2.6 + 0.6 = 3.2
y
(0.2)(13) + (-0.4)(1)
= 2.6 - 0.4 = 2.2
— التحقق: 2(3.2)+3(2.2) = 13 ✓  |  3.2−2.2 = 1 ✓
x = 3.2 ، y = 2.2
٣ حل النظام الثالث
3x + 2y = 16
x + 4y = 18
الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:
A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}
X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 16 \\ 18 \end{bmatrix}
الخطوة ٢ — المحددة:
\det(A) = (3)(4)-(2)(1)
= 12 - 2 = 10
الخطوة ٣ — النظير الضربي:
A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}
الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:
x
(0.4)(16) + (-0.2)(18)
= 6.4 - 3.6 = 2.8
y
(-0.1)(16) + (0.3)(18)
= -1.6 + 5.4 = 3.8
— التحقق: 3(2.8)+2(3.8) = 16 ✓  |  2.8+4(3.8) = 18 ✓
x = 2.8 ، y = 3.8
٤ ملخص الخطوات
الخطوةالعملية
١ — الشكل المصفوفياستخراج A و X و B من النظام
٢ — المحددةdet(A) = ad − bc ، يجب أن ≠ 0
٣ — النظير الضربيتبديل وتغيير ← القسمة على det(A)
٤ — الحلX = A⁻¹ × B
٥ — التحققتعويض x و y في المعادلتين الأصليتين
٥ الخلاصة
— المحددة السالبة: لا تمنع الحل — المهم أنها ≠ 0.
— قاعدة الحل الثابتة: X = A⁻¹ × B بغض النظر عن قيم المعاملات.
— الحسابات: قسّم دائماً على المحددة وتحقق من كل عنصر على حدة.
— التحقق إلزامي: عوّض النتيجة في المعادلتين الأصليتين وليس في المصفوفة.

الشرح

حل نظام المعادلات بالنظير الضربي

الرياضيات — المصفوفات

الشكل المصفوفي
AX = B
قاعدة الحل
X = A⁻¹ × B
المثال
x = 80 ، y = 20
١المفهوم والمنهجية العامة
— أي نظام معادلات خطي يمكن تحويله إلى الشكل المصفوفي AX = B.
— بدلاً من القسمة على A نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار.
AX = B
X = A^{-1} \times B
Aمصفوفة المعاملات
Xمصفوفة المتغيرات المجهولة
Bمصفوفة النتائج (الحدود الحرة)
٢النظام المعطى
x + y = 100
1.5x + 1.45y = 149
٣الخطوة الأولى — الشكل المصفوفي
مصفوفة المعاملات A:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
مصفوفتا X و B:
X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}
الشكل الكامل:
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}
٤الخطوة الثانية — حساب A⁻¹
أولاً — المحددة:
\det(A) = (1)(1.45)-(1)(1.5)
= 1.45-1.5 = -0.05
ثانياً — تبديل القطر وتغيير الإشارات:
A^{-1} = \frac{1}{-0.05} \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{bmatrix}
ثالثاً — توزيع القسمة:
A^{-1} = \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}
A⁻¹ = [[ −29 ، 20 ] ، [ 30 ، −20 ]]
٥الخطوة الثالثة — X = A⁻¹ × B
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}
حساب x:
(-29)(100)+(20)(149)
= -2900+2980 = 80
حساب y:
(30)(100)+(-20)(149)
= 3000-2980 = 20
x = 80 ، y = 20
٦التحقق من صحة الحل
— نعوّض x = 80 و y = 20 في المعادلتين الأصليتين.
80+20 = 100 \quad \checkmark
1.5(80)+1.45(20)
= 120+29 = 149 \quad \checkmark
كلتا المعادلتين محققتان ✓
٧ملخص الخطوات
الخطوةالعملية
١ — الشكل المصفوفياستخراج A و X و B من النظام
٢ — حساب A⁻¹المحددة ← التبديل والتغيير ← القسمة
٣ — الحلX = A⁻¹ × B
٤ — التحققتعويض الحل في المعادلتين الأصليتين
٨الخلاصة
— الشكل المصفوفي: أي نظام معادلات يُكتب على شكل AX = B.
— قاعدة الحل: نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار للحصول على X = A⁻¹B.
— شرط الحل: يجب أن تكون المحددة ≠ 0 حتى يوجد A⁻¹.
— الميزة: الطريقة تعمل مع أي حجم نظام، ليس فقط 2×2.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض القيم في المعادلات الأصلية للتأكد.

حل بالخطوات

1
حول النظام التالي إلى صيغة مصفوفية:
\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}
2
احسب محدد المصفوفة:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
3
أوجد النظير الضربي للمصفوفة:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}
4
حل النظام باستخدام النظير الضربي:
\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}
5
حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي:
\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}
6
تحقق من صحة الحل للنظام:
\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 18 \end{cases}
إذا كان
x = 2، y = 5
الدرس السابق
0
الدرس التالي
أول ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...