→ العودة إلى الدرس

أرسل للمعلم/الصف

📘 أكاديمية موسى · ورقة عمل

الرياضيات › الثانوية › ثاني ثانوي › الفصل الأول

الأعداد المركبة: جمعها وطرحها

امسح لمشاهدة الشرح

الاسم: الصف: التاريخ:

ملخص الدرس

في هذا الدرس سنتعرف على الأعداد التخيلية، والتي ظهرت بسبب الجذر التربيعي للأعداد السالبة، لأننا لا نستطيع إيجاد عدد حقيقي إذا ضربناه في نفسه يعطينا عددًا سالبًا.

لماذا ظهرت الأعداد التخيلية؟

نعرف أن:

$\sqrt{9} = 3$

لكن إذا كان لدينا:

$\sqrt{-9}$

فلا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي سالب 9.

لذلك استُخدم الرمز $i$ ، وهو اختصار لكلمة Imaginary، وعُرّف بحيث:

$i^2 = -1$

تبسيط الجذور السالبة

إذا كان لدينا:

$\sqrt{-9}$

فنكتبها على الصورة:

$\sqrt{-1 \times 9}$

ثم نفصل الجذر إلى:

$\sqrt{-1} \times \sqrt{9}$

وبما أن:

$\sqrt{-1}=i$

و:

$\sqrt{9}=3$

فإن الناتج يصبح:

$3i$

لماذا نحتفظ بالرمز $i$ ؟

نترك الرمز $i$ في الناتج، لأن العمليات الحسابية اللاحقة قد تعيدنا إلى الأعداد الحقيقية.

فعلى سبيل المثال:

$i^2=-1$

وبذلك قد يختفي الجزء التخيلي بعد إجراء بعض العمليات.

مثال على الضرب

إذا كان لدينا:

$(1+i)(1-i)$

فنوزع الضرب:

$1 \times 1 = 1$

$1 \times (-i) = -i$

$i \times 1 = i$

$i \times (-i) = -i^2$

وبما أن:

$i^2=-1$

فإن:

$-i^2 = -(-1)=1$

فتصبح النتيجة:

$1-i+i+1=2$

ونلاحظ أن الناتج عدد حقيقي.

الأعداد المركبة

يدخلنا هذا إلى مفهوم الأعداد المركبة، وهي الأعداد التي تتكون من جزأين:

جزء حقيقي.

وجزء تخيلي يحتوي على $i$ .

فمثلًا:

$1+5i$

العدد 1 هو الجزء الحقيقي، و $5i$ هو الجزء التخيلي.

جمع وطرح الأعداد المركبة

في عمليات الجمع والطرح نتعامل مع كل جزء على حدة:

نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية معًا.

ثم نجمع أو نطرح الأجزاء التخيلية معًا.

مثال على الطرح

إذا كان لدينا:

$(5+i)-(3+3i)$

فنطرح الأجزاء الحقيقية:

$5-3=2$

ثم نطرح الأجزاء التخيلية:

$i-3i=-2i$

فيكون الناتج:

$2-2i$

مثال على الجمع

إذا كان لدينا:

$(5+i)+(3+3i)$

نجمع الأجزاء الحقيقية:

$5+3=8$

ثم نجمع الأجزاء التخيلية:

$i+3i=4i$

فيكون الناتج:

$8+4i$

الخلاصة

ظهرت الأعداد التخيلية بسبب الجذر التربيعي للأعداد السالبة.

يرمز للعدد التخيلي بالرمز $i$ ، حيث $i^2=-1$ .

يمكن تبسيط الجذور السالبة بإخراج $i$ خارج الجذر.

العدد المركب يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي.

عند جمع أو طرح الأعداد المركبة، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية معًا، ثم الأجزاء التخيلية معًا.

تمارين

1ما هو تعريف الوحدة التخيلية $i$ ؟

أ) $i = 1$

ب) $i = \sqrt{-1}$ حيث $i^2 = -1$

ج) $i = 0$

د) $i = \sqrt{1}$

2ما هي قيمة $\sqrt{-9}$ ؟

أ) $9i$

ب) $3i$

ج) $-3i$

د) غير معرف

3العدد المركب $5 + 3i$ يتكون من:

أ) جزء حقيقي = 3، جزء تخيلي = 5

ب) جزء حقيقي = 5، جزء تخيلي = 3

ج) جزء حقيقي = 5، جزء تخيلي = $3i$

د) كلاهما أجزاء تخيلية

4احسب $(2 + 4i) + (3 - 2i)$ :

أ) $5 + 2i$

ب) $5 - 2i$

ج) $-1 + 6i$

د) $6 + 2i$

5احسب $(6 + 5i) - (2 + 3i)$ :

أ) $4 + 2i$

ب) $8 + 8i$

ج) $4 - 2i$

د) $8 + 2i$

6ما هو ناتج $(1 + i)(1 - i)$ ؟

أ) $2$

ب) $1 - i^2$

ج) $0$

د) $2i$

7احسب $(3 - 2i) - (-1 + 4i)$ :

أ) $4 - 6i$

ب) $2 + 2i$

ج) $4 + 6i$

د) $2 - 6i$

8ما هي قيمة $i^2$ ؟

أ) $1$

ب) $-1$

ج) $i$

د) $0$

9أي من التالي يمثل عدداً حقيقياً خالصاً؟

أ) $5 + 0i$

ب) $0 + 3i$

ج) $2 + 4i$

د) $1 + i$

10لحل $\sqrt{-16}$ ، النتيجة هي:

أ) $4i$

ب) $-4i$

ج) $16i$

د) $-16$

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/bj5a6y

📘 أكاديمية موسى · مفتاح الإجابات (للمعلم)

الأعداد المركبة: جمعها وطرحها

الإجابات

1. $i = \sqrt{-1}$ حيث $i^2 = -1$

2. $3i$

3. جزء حقيقي = 5، جزء تخيلي = 3

4. $5 + 2i$

5. $4 + 2i$

6. $2$

7. $4 - 6i$

8. $-1$

9. $5 + 0i$

10. $4i$

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/bj5a6y